Lemma, succ. di Cauchy (chiarimento)
Lemma: Sia $(E,d)$ metrico, $(x_n)_n$ di Cauchy. Allora $(x_n)_n$ è limitata.
Dimostrazione:
Fissato $epsilon = 1$ , $EE bar n$ tale che $AA n , m > bar n$ si ha $d(x_n , x_m) < 1$
Posso riscrivere la proprietà equivalentemente nella seguente maniera:
$EE bar n$ tale che $AA n > bar n$ si ha $d(x_(n+1) , x_n) < 1$
Considero $R = max { d(x_(bar(n) + 1) , x_0 ) , ... , d (x_(bar(n) + 1) , x_(bar(n))) , 1 }$
Quindi $AA n , x_n in B( x_(bar(n) + 1) , R + 1 )$.
Il problema è che non mi è chiarissima la conclusione, precisamente dalla scelta di $R$. E' proprio vero che tutti i punti $x_n$ stanno in una palla aperta di centro $x_(bar(n) + 1)$ e raggio $R+1$ ? Come posso rendermene conto intuitivamente?
Dimostrazione:
Fissato $epsilon = 1$ , $EE bar n$ tale che $AA n , m > bar n$ si ha $d(x_n , x_m) < 1$
Posso riscrivere la proprietà equivalentemente nella seguente maniera:
$EE bar n$ tale che $AA n > bar n$ si ha $d(x_(n+1) , x_n) < 1$
Considero $R = max { d(x_(bar(n) + 1) , x_0 ) , ... , d (x_(bar(n) + 1) , x_(bar(n))) , 1 }$
Quindi $AA n , x_n in B( x_(bar(n) + 1) , R + 1 )$.
Il problema è che non mi è chiarissima la conclusione, precisamente dalla scelta di $R$. E' proprio vero che tutti i punti $x_n$ stanno in una palla aperta di centro $x_(bar(n) + 1)$ e raggio $R+1$ ? Come posso rendermene conto intuitivamente?
Risposte
Provato con la disuguaglianza triangolare?
P.S.: Riscrivendo ti sei saltato una barretta; la proposizione corretta dovrebbe essere: [tex]$\exists \bar{n}:\ \forall n>\bar{n},\ d(x_{\bar{n} +1},x_n)<1$[/tex].
P.S.: Riscrivendo ti sei saltato una barretta; la proposizione corretta dovrebbe essere: [tex]$\exists \bar{n}:\ \forall n>\bar{n},\ d(x_{\bar{n} +1},x_n)<1$[/tex].
"gugo82":
P.S.: Riscrivendo ti sei saltato una barretta; la proposizione corretta dovrebbe essere: [tex]$\exists \bar{n}:\ \forall n>\bar{n},\ d(x_{\bar{n} +1},x_n)<1$[/tex].
Ah, ecco cos'era! Così la cosa mi torna.
Ma è vera anche quella che ho scritto io, giusto? Cioè prendendo come indice $m$ il successivo di $n$ ?
... Anche se è perfettamente inutile in questa dimostrazione.
Ovvio che funziona se [tex]$m=n+1$[/tex]: infatti [tex]$n+1>n>\bar{n}$[/tex]... 
E sì, la cosa è inutile in questo contesto: a te serve trovare un punto da usare come centro per una palla "bella grossa" che contenga tutti i punti del sostegno della successione [tex]$(x_n)$[/tex], quindi materialmente sapere che due termini consecutivi della successione distano poco non è di grande aiuto.
Ovviamente la cosa più logica da fare è fissare uno dei due indici e cercare di usare il corrispondente termine della successione come candidato centro della palla incognita: in tal caso hai fissato [tex]$m=\bar{n}+1$[/tex]... Ma anche prendendo [tex]$m=\bar{n} +2011$[/tex] non sarebbe cambiato nulla.
E sì, la cosa è inutile in questo contesto: a te serve trovare un punto da usare come centro per una palla "bella grossa" che contenga tutti i punti del sostegno della successione [tex]$(x_n)$[/tex], quindi materialmente sapere che due termini consecutivi della successione distano poco non è di grande aiuto.
Ovviamente la cosa più logica da fare è fissare uno dei due indici e cercare di usare il corrispondente termine della successione come candidato centro della palla incognita: in tal caso hai fissato [tex]$m=\bar{n}+1$[/tex]... Ma anche prendendo [tex]$m=\bar{n} +2011$[/tex] non sarebbe cambiato nulla.
Maledetti appunti... Infatti non riuscivo a raccapezzarmi.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
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