Lemma per definire l'integrale di Lebesgue
Continuando la lettura del libro di Gianni Gilardi, analisi 3, pag. 40 (definizione di integrale di Lebesgue) mi trovo di fronte ad un lemma che non riesco a dimostrare.
Se per una funzione $u$ a valori complessi, definita quasi ovunque in $\mathbb{R}^n$, esiste una successione di funzioni a scala $u_k$ che rispetta le due condizioni seguenti:
a) $\lim_{k\to\infty}u_k(x)=u(x)$ quasi ovunque,
b) $\forall \epsilon>0 \exists m:\forall k',k''>m$ si ha $\int |u_{k'}(x)-u_{k''}(x)|<\epsilon$,
allora esiste il limite $\lim_{k\to\infty}\int u_k(x)$ (questo si dimostra facilmente). Tutti i simboli di integrale che compaiono si intendono nel senso di Riemann.
Ora, ciò che non riesco a dimostrare è che se trovo due successioni di funzioni a scala $u_k$ e $v_k$ che verificano entrambe le due condizioni sopra, allora esse hanno stesso limite.
In particolare, non ci sto riuscendo perché nelle ipotesi non ho (chiaramente) che u sia anch'essa integrabile secondo Riemann.
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto per favore?
Grazie in anticipo.
Se per una funzione $u$ a valori complessi, definita quasi ovunque in $\mathbb{R}^n$, esiste una successione di funzioni a scala $u_k$ che rispetta le due condizioni seguenti:
a) $\lim_{k\to\infty}u_k(x)=u(x)$ quasi ovunque,
b) $\forall \epsilon>0 \exists m:\forall k',k''>m$ si ha $\int |u_{k'}(x)-u_{k''}(x)|<\epsilon$,
allora esiste il limite $\lim_{k\to\infty}\int u_k(x)$ (questo si dimostra facilmente). Tutti i simboli di integrale che compaiono si intendono nel senso di Riemann.
Ora, ciò che non riesco a dimostrare è che se trovo due successioni di funzioni a scala $u_k$ e $v_k$ che verificano entrambe le due condizioni sopra, allora esse hanno stesso limite.
In particolare, non ci sto riuscendo perché nelle ipotesi non ho (chiaramente) che u sia anch'essa integrabile secondo Riemann.
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto per favore?
Grazie in anticipo.
Risposte
È una buona domanda e potrebbe essere di non facile risposta. Quel libro non è il posto adatto per questi dettagli di teoria della misura. Sicuramente sta cercando di definire l'integrale di Lebesgue il più presto possibile per arrivare a ciò che davvero gli interessa, i teoremi di convergenza, così può definire gli spazi $L^p$ e mettersi a fare calcoli.
Grazie per la risposta.
Dove mi consiglieresti di approfondire la dimostrazione di questo fatto?
Dove mi consiglieresti di approfondire la dimostrazione di questo fatto?
Rischi di metterti in un loop senza fine. Consiglio di saltarlo.
Ok, lo salto.
Puoi farmi capire perché c'è questo rischio?
Puoi farmi capire perché c'è questo rischio?
Perché la costruzione dell'integrale di Lebesgue scoperchia un vaso di Pandora, la teoria della misura, con tutto il suo bagaglio di nozioni: sigma-algebre, funzioni misurabili, etc... Sono tutte cose molto interessanti e importanti. Ma è meglio studiarle un po' più avanti. Ecco perché Gilardi se ne è uscito con questa costruzione, spazzando sotto al tappeto questo lemma e introducendo rapidamente l'integrale di Lebesgue. Più in là, immagino introdurrà qualcosa di teoria della misura, comunque. E allora ne riparliamo.
Grazie 
Alla fine la dimostrazione era a pagina 50, non l'aveva preannunciato.
Toh! 
Meglio così. È molto difficile?
Meglio così. È molto difficile?
No, si capisce bene
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