Lemma - Numeri reali
Salve. Il dubbio interessa la logica, tuttavia la sezione di Analisi mi sembra la più adatta al problema.
Ho il seguente lemma:
Sia $alpha = (A, B)$ una sezione del campo razionale. Per ogni numero razionale positivo $epsilon$ esistono due elementi $a_0 in A$, $b_0 in B$ tali che $b_0 - a_0 < epsilon$.
Dimostrare il teorema per via diretta non è affatto difficile. Ma volendolo dimostrare per assurdo? Non mi serve una dimostrazione, ma solo capire come impostarla.
Come si nega la tesi?
Ho il seguente lemma:
Sia $alpha = (A, B)$ una sezione del campo razionale. Per ogni numero razionale positivo $epsilon$ esistono due elementi $a_0 in A$, $b_0 in B$ tali che $b_0 - a_0 < epsilon$.
Dimostrare il teorema per via diretta non è affatto difficile. Ma volendolo dimostrare per assurdo? Non mi serve una dimostrazione, ma solo capire come impostarla.
Come si nega la tesi?
Risposte
La negazione della tesi è:
$\exists \epsilon>0 \ : \ AA \ copp ia \ (a_0,b_0), a_0\inA,b_0\inB \ si \ ha \ b_0-a_0>\epsilon$
$\exists \epsilon>0 \ : \ AA \ copp ia \ (a_0,b_0), a_0\inA,b_0\inB \ si \ ha \ b_0-a_0>\epsilon$
Maggiore o uguale ad epsilon...
PS. FP docet
PS. FP docet
"misanino":
La negazione della tesi è:
$\exists \epsilon>0 \ : \ AA \ copp ia \ (a_0,b_0), a_0\inA,b_0\inB \ si \ ha \ b_0-a_0>\epsilon$
Avevo pensato anche io di fare così. (con $>=$, d'accordo)
Il problema è che a me sembra che la dimostrazione di questa cosa non conduca a contraddizioni.
"Seneca":
Il problema è che a me sembra che la dimostrazione di questa cosa non conduca a contraddizioni.
Carissimo, qual è la tua definizione di "sezione"?
Se è come quella che immagino, A e B devono essere classi contigue, insomma l'elemento separatore deve essere unico.
Sbaglio?
Per ipotesi $A$ non ha massimo e $B$ non ha minimo. Quindi esiste $a_1 in A$ tale che $a_0 < a_1$. Inoltre esiste $b_1 in B$ tale che $b_1 < b_0$.
Scegliendo $epsilon = b_1 - a_1$ si ha la tesi. Infatti $epsilon = b_1 - a_1 < b_0 - a_0$.
Scegliendo $epsilon = b_1 - a_1$ si ha la tesi. Infatti $epsilon = b_1 - a_1 < b_0 - a_0$.
"Paolo90":
[quote="Seneca"]
Il problema è che a me sembra che la dimostrazione di questa cosa non conduca a contraddizioni.
Carissimo, qual è la tua definizione di "sezione"?
Se è come quella che immagino, A e B devono essere classi contigue, insomma l'elemento separatore deve essere unico.
Sbaglio?[/quote]
Ciao Paolo.
No, non è richiesto. Non ha ancora definito le "classi contigue".
... $(A, B)$ è detta una sezione del campo razionale se:
1) $A,B$ sono non vuote.
2) $A$ non ha massimo; $B$ non ha minimo.
3) $A$ è inf satura; $B$ è sup satura.
4) Le classi sono separate.
5) Ogni numero razionale, escluso al più uno, sta in $A$ o in $B$.
"Seneca":
Per ipotesi $A$ non ha massimo e $B$ non ha minimo. Quindi esiste $a_1 in A$ tale che $a_0 < a_1$. Inoltre esiste $b_1 in B$ tale che $b_1 < b_0$.
Scegliendo $epsilon = b_1 - a_1$ si ha la tesi. Infatti $epsilon = b_1 - a_1 < b_0 - a_0$.
A me sembra che questa dimostrazione funzioni, e non ci sia nessun assurdo. Mi sbaglio?
"Seneca":
[quote="Seneca"]Per ipotesi $A$ non ha massimo e $B$ non ha minimo. Quindi esiste $a_1 in A$ tale che $a_0 < a_1$. Inoltre esiste $b_1 in B$ tale che $b_1 < b_0$.
Scegliendo $epsilon = b_1 - a_1$ si ha la tesi. Infatti $epsilon = b_1 - a_1 < b_0 - a_0$.
A me sembra che questa dimostrazione funzioni, e non ci sia nessun assurdo. Mi sbaglio?[/quote]
Io credo che tu stai proprio sbagliando ad impostare la cosa (anche se la negazione della tesi è giusta).
Ho infatti un'idea, ma ho bisogno di sapere cosa significa Sup satura.
grazie e ciao
Si dice che la classe $B$ è superiormente satura se: $r in B$, $r < r_1$ $ => r_1 in B$ ( $r, r_1$ razionali, logicamente ).
Che idea hai?
Che idea hai?
Scusa se ti chiedo ancora una cosa.
E invece dire che le classi sono separate cosa significa in questo caso?
E invece dire che le classi sono separate cosa significa in questo caso?
In effetti sono stato sbrigativo, eheh. Scusami.
Significa che ogni numero di $A$ è minore di ogni numero di $B$.
Grazie.
Significa che ogni numero di $A$ è minore di ogni numero di $B$.
Grazie.
Infine ti chiedo:
mi concedi che se ho un numero reale $\epsilon$ allora esiste sempre un numero razionale $r$ tale che $r<\epsilon$?
mi concedi che se ho un numero reale $\epsilon$ allora esiste sempre un numero razionale $r$ tale che $r<\epsilon$?
"misanino":
Infine ti chiedo:
mi concedi che se ho un numero reale $\epsilon$ allora esiste sempre un numero razionale $r$ tale che $r<\epsilon$?
Dipende cosa intendi per numero reale. Il numero reale non è altro che una sezione del campo razionale, per ora; cioè una coppia di classi di numeri razionali che soddisfino alle 5) condizioni che ho scritto prima.
EDIT: Comunque $epsilon$, se è l'$epsilon$ del lemma, è razionale.
"Seneca":
[quote="misanino"]Infine ti chiedo:
mi concedi che se ho un numero reale $\epsilon$ allora esiste sempre un numero razionale $r$ tale che $r<\epsilon$?
Dipende cosa intendi per numero reale. Il numero reale non è altro che una sezione del campo razionale, per ora; cioè una coppia di classi di numeri razionali che soddisfino alle 5) condizioni che ho scritto prima.
EDIT: Comunque $epsilon$, se è l'$epsilon$ del lemma, è razionale.[/quote]
Scusa, ti ho fatto una domanda stupida perchè non ho letto che $\epsilon$ era razionale.
Ti spiego la mia idea.
Procediamo per assurdo.
Supponiamo quindi che:
$\exists \epsilon>0 \ : \ AA \ copp ia \ (a_0,b_0), a_0\inA,b_0\inB \ si \ ha \ b_0-a_0>=\epsilon$
Ora per arrivare all'assurdo devo trovare $b_1$ e $a_1$ tali che $b_1-a_1<\epsilon$.
Guardo la condizione 5 che hai segnato per essere una sezione.
Supponiamo quindi che siamo nel caso che esiste $r$ razionale tale che $r notin A$, $r notin B$. (Il mio problema è quando ciò non accade, ma per adesso rimaniamo su questo caso).
Ora $\epsilon$ è razionale e quindi $\epsilon/3$ lo è pure.
Considero $r+\epsilon/3$ e $r-\epsilon/3$.
Ora $r+\epsilon/3\in B$ poichè altrimenti dovrebbe appartenere ad A (dato che $r$ è l'unico razionale che non è in A nè in B) e ciò è assurdo perchè, essendo A inf saturo, ciò vorrebbe dire che anche $r$ è in A. Quindi $r+\epsilon/3\in B$.
Allo stesso mdo $r-\epsilon/3\in A$
Ora $r+\epsilon/3-(r-\epsilon/3)=2\epsilon/3<\epsilon$ e sono arrivato all'assurdo perchè ciò contraddice l'ipotesi di assurdo fatta all'inizio.
Il problema è ora modificare un pochino questa dimostrazione per farla valere anche nel caso che tutti i razionali siano in A o in B.
Ci devo pensare un po'
A prima vista mi sembra corretta. Grazie dell'aiuto. Tuttavia non capisco cosa c'è che non va nel mio ragionamento di prima.
Comunque fissata una coppia di numeri $a_0, b_0$, devo essere in grado di trovare un $epsilon$ tale che $b_0 - a_0 < epsilon$.
Comunque fissati $a_0, b_0$, esistono (per le ipotesi sulla coppia di classi) $a_1, b_1$ tali che $a_0 < a_1 in A$ , $b_0 > b_1 in B$.
$AA a_0, b_0$, $b_1 - a_1 < b_0 - a_0$
Quindi posso scegliere $epsilon = b_1 - a_1$ perchè si abbia $epsilon < b_0 - a_0$.
Forse non va bene far dipendere $epsilon$ dai punti $a_0,b_0$... Boh.
Che dici? Grazie per la pazienza.
"Seneca":
Per ipotesi $A$ non ha massimo e $B$ non ha minimo. Quindi esiste $a_1 in A$ tale che $a_0 < a_1$. Inoltre esiste $b_1 in B$ tale che $b_1 < b_0$.
Scegliendo $epsilon = b_1 - a_1$ si ha la tesi. Infatti $epsilon = b_1 - a_1 < b_0 - a_0$.
Comunque fissata una coppia di numeri $a_0, b_0$, devo essere in grado di trovare un $epsilon$ tale che $b_0 - a_0 < epsilon$.
Comunque fissati $a_0, b_0$, esistono (per le ipotesi sulla coppia di classi) $a_1, b_1$ tali che $a_0 < a_1 in A$ , $b_0 > b_1 in B$.
$AA a_0, b_0$, $b_1 - a_1 < b_0 - a_0$
Quindi posso scegliere $epsilon = b_1 - a_1$ perchè si abbia $epsilon < b_0 - a_0$.
Forse non va bene far dipendere $epsilon$ dai punti $a_0,b_0$... Boh.
Che dici? Grazie per la pazienza.
Ok.
Penso di essere riuscito a modificare la situazione anche nel caso generale.
Procediamo come prima per assurdo.
Supponiamo, contrariamente a prima quindi, che ogni razionale sia in A o in B.
Sia $a\in A$. Ora B non è vuoto e quindi esiste $b\in B$ e si ha $a
Prendo $b-2$. Se $b-2\inA$ mi fermo, altrimenti proseguo.
Arrivo così al minimo $n$ tale che $b-n\inA$ (tale n ovviamente esiste poichè basta prendere $n>=b-a$), e invece $b-(n-1)\inB$.
Chiamo $x=b-n$ e $y=b-(n-1)$ e ho quindi $x\inA$, $y\inB$, $y-x=1$.
Ora sia $n$ tale che $1/n<\epsilon$.
Procedo come prima.
Considero $y-1/n$. Se $y-1/n\inA$ mi fermo, altrimenti proseguo.
Considero $y-2/n$. Se $y-2/n\inA$ mi fermo, altrimenti proseguo.
Dato che $y-n/n=y-1=x$ allora esiste un minimo $k$ tale che $y-k/n\inA$ e $y-(k-1)/n\inB$.
Chiamo $b_1=y-(k-1)/n$ e $a_1=y-k/n$.
Ho che $b_1-a_1=y-(k-1)/n-(y-k/n)=1/n<\epsilon$.
Assurdo perchè contraddice l'ipotesi di assurdo assunta all'inizio.
Che ne dici?
A me sembra che questa dimostrazione sia corretta.
Dimmi se trovi problemi o hai dubbi.
Buonanotte
Penso di essere riuscito a modificare la situazione anche nel caso generale.
Procediamo come prima per assurdo.
Supponiamo, contrariamente a prima quindi, che ogni razionale sia in A o in B.
Sia $a\in A$. Ora B non è vuoto e quindi esiste $b\in B$ e si ha $a
Prendo $b-2$. Se $b-2\inA$ mi fermo, altrimenti proseguo.
Arrivo così al minimo $n$ tale che $b-n\inA$ (tale n ovviamente esiste poichè basta prendere $n>=b-a$), e invece $b-(n-1)\inB$.
Chiamo $x=b-n$ e $y=b-(n-1)$ e ho quindi $x\inA$, $y\inB$, $y-x=1$.
Ora sia $n$ tale che $1/n<\epsilon$.
Procedo come prima.
Considero $y-1/n$. Se $y-1/n\inA$ mi fermo, altrimenti proseguo.
Considero $y-2/n$. Se $y-2/n\inA$ mi fermo, altrimenti proseguo.
Dato che $y-n/n=y-1=x$ allora esiste un minimo $k$ tale che $y-k/n\inA$ e $y-(k-1)/n\inB$.
Chiamo $b_1=y-(k-1)/n$ e $a_1=y-k/n$.
Ho che $b_1-a_1=y-(k-1)/n-(y-k/n)=1/n<\epsilon$.
Assurdo perchè contraddice l'ipotesi di assurdo assunta all'inizio.
Che ne dici?
A me sembra che questa dimostrazione sia corretta.
Dimmi se trovi problemi o hai dubbi.
Buonanotte
"Seneca":
A prima vista mi sembra corretta. Grazie dell'aiuto. Tuttavia non capisco cosa c'è che non va nel mio ragionamento di prima.
Ascolta, provo a spiegartelo domani mattina.
Ora vado a letto perchè sono un po' stanco.
Domani ne parliamo ancora perchè è un argomento interessante.
Ciao
D'accordo... Volentieri. A domani.
"Seneca":
Comunque fissata una coppia di numeri $a_0, b_0$, devo essere in grado di trovare un $epsilon$ tale che $b_0 - a_0 < epsilon$.
E' qua che sbagli.
Infatti la negazione della tesi non è :
"per ogni coppia di numeri $(a_0,b_0)$ esiste $\epsilon$ .... "
bensì:
"esiste $\epsilon$ tale che per ogni coppia di numeri $(a_0,b_0)$ ...."
$\epsilon$ è fissata una volta che iniziamo a dimostrare per assurdo e sappiamo per ipotesi che data una qualsiasi coppia $(a_0,b_0)$ si ha $b_0-a_0>=\epsilon$.
L'assurdo lo otteniamo se troviamo una coppia per cui non vale ciò.
Mi sono spiegato?
(se no, dimmi pure)
Ti sei spiegato bene...
Quindi $epsilon$ è fissato una volta per tutte? $a_0, b_0$ li posso considerare funzioni di $epsilon$?
Quindi $epsilon$ è fissato una volta per tutte? $a_0, b_0$ li posso considerare funzioni di $epsilon$?
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