Lemma - Numeri reali
Salve. Il dubbio interessa la logica, tuttavia la sezione di Analisi mi sembra la più adatta al problema.
Ho il seguente lemma:
Sia $alpha = (A, B)$ una sezione del campo razionale. Per ogni numero razionale positivo $epsilon$ esistono due elementi $a_0 in A$, $b_0 in B$ tali che $b_0 - a_0 < epsilon$.
Dimostrare il teorema per via diretta non è affatto difficile. Ma volendolo dimostrare per assurdo? Non mi serve una dimostrazione, ma solo capire come impostarla.
Come si nega la tesi?
Ho il seguente lemma:
Sia $alpha = (A, B)$ una sezione del campo razionale. Per ogni numero razionale positivo $epsilon$ esistono due elementi $a_0 in A$, $b_0 in B$ tali che $b_0 - a_0 < epsilon$.
Dimostrare il teorema per via diretta non è affatto difficile. Ma volendolo dimostrare per assurdo? Non mi serve una dimostrazione, ma solo capire come impostarla.
Come si nega la tesi?
Risposte
"Seneca":
Ti sei spiegato bene...
Quindi $epsilon$ è fissato una volta per tutte? $a_0, b_0$ li posso considerare funzioni di $epsilon$?
Assolutamente sì.
D'accordo, ora ho un altro problema. Come si sarà capito, non sono un granché esperto di logica.
"$A$ è inferiormente satura" penso possa essere formalizzato così:
Sia $s_0 in A$. $AA s_1 : s_1 < s_0 => s_1 in A$.
(Sbaglio?)
E' una cosa del tipo $P => Q$ ?
Come si nega questa definizione?
$\neg(P => Q) = \neg(\neg(P) vv Q) = P ^^ \neg(Q)$
Ho pensato a:
$EE s_1 : s_1 >= s_0 ^^ s_1 notin A $
Ma la (mia) logica mi suggerisce una cosa di quest'altro tipo:
$EE s_1 : s_1 < s_0 => s_1 notin A$.
Che confusione...
"$A$ è inferiormente satura" penso possa essere formalizzato così:
Sia $s_0 in A$. $AA s_1 : s_1 < s_0 => s_1 in A$.
(Sbaglio?)
E' una cosa del tipo $P => Q$ ?
Come si nega questa definizione?
$\neg(P => Q) = \neg(\neg(P) vv Q) = P ^^ \neg(Q)$
Ho pensato a:
$EE s_1 : s_1 >= s_0 ^^ s_1 notin A $
Ma la (mia) logica mi suggerisce una cosa di quest'altro tipo:
$EE s_1 : s_1 < s_0 => s_1 notin A$.
Che confusione...
Mettiamola in questi termini:
tu hai $s_1
se vale P allora vale Q.
La negazione è quindi :
se vale P può non valere Q.
Perciò nel nostro caso diventa che pur valendo P non vale Q cioè:
esiste $s_1$ tale che (vale P) $s_1
Spero di essre riuscito a essere più chiaro possibile perchè capisco che sono cose delicate
tu hai $s_1
se vale P allora vale Q.
La negazione è quindi :
se vale P può non valere Q.
Perciò nel nostro caso diventa che pur valendo P non vale Q cioè:
esiste $s_1$ tale che (vale P) $s_1
Spero di essre riuscito a essere più chiaro possibile perchè capisco che sono cose delicate
"misanino":
Spero di essre riuscito a essere più chiaro possibile perchè capisco che sono cose delicate
Sì, va bene.
Quindi la negazione sarebbe la seguente?
$s in A, s_1 < s_0 " " ^^ " "s_1 notin A$
Da dove salta fuori il simbolo di esistenza? Suppongo che tacitamente abbiamo supposto un $AA$ da qualche parte...
Ti ringrazio nuovamente per la pazienza con cui mi stai aiutando.
La negazione è:
$EE s_1 : s_1 < s_0 ^^ s_1 notin A $
$EE s_1 : s_1 < s_0 ^^ s_1 notin A $
"misanino":
La negazione è:
$EE s_1 : s_1 < s_0 ^^ s_1 notin A $
Mi sa che dovrò leggere qualche libro serio di logica formale.
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