Lemma di Riemann Lebesgue
Ciao a tutti, ho dei problemi sulla dimostrazione del lemma di Riemann-Lebesgue.
Sto studiando su queste dispense: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/negro/ist/eafunz.pdf (p.143) e il mio problema riguarda la seguente frase:
Quindi stiamo affermando che se $f \in L^2 [a,b] \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx \rightarrow 0$ per $\lambda \rightarrow \infty$.
Sappiamo che in $L^2$ il sistema $\{1,cos(nx),sen(nx)\}$ è ortogonale e completo e che i coefficenti di Fourier di $f$ rispetto a questo sistema sono: $f_n = (f, e_n) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{−i nx} dx$
Scrivendo $n$ al posto di $\lambda$ si ottiene: $ \b_n=int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(\lambda x)dx $ è un coefficente di Fourier, ed effettivamente per la disuguaglianza di Bessel tende a $0$ poiché:
$\sum_{k=n+1}^{n+p}|f_k|^2 \rightarrow 0$ (cfr. p. 72)
Ciò che mi lascia perplessa è che il teorema di completezza delle funzioni trigonometriche afferma che il sistema ortogonale scritto sopra è completo in $L^2[0,2\pi]$ e per definizione i coefficienti di Fourier sono:
$f_n = (f , e_n) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{−i nx} dx$
con estremi di integrazione $-\pi$ e $\pi$, non $a$ e $b$ generici.
Quindi la domanda è: i numeri: $g_n = (f , e_n) =\frac{1}{2\pi}\int_{a}^{b}f(x)e^{−i nx} dx$ (e quindi poi $\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx$)
i) sono coefficenti di Fourier?
ii) posso applicare la disuguaglianza di Bessel?
In realtà temo di essere annegata in un bicchier d'acqua ma non riesco proprio a venirne a capo. Cosa sto sbagliando?
Grazie a chi avrà voglia di darmi qualche indizio in merito!
Saluti!
Sto studiando su queste dispense: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/negro/ist/eafunz.pdf (p.143) e il mio problema riguarda la seguente frase:
Premettiamo una osservazione: se $f \in L^2$ e $\lambda \in \NN$ il risultato segue immediatamente dalla convergenza a 0 dei coefficienti di Fourier rispetto a qualunque sistema ortonormale (disuguaglianza di Bessel).
Quindi stiamo affermando che se $f \in L^2 [a,b] \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx \rightarrow 0$ per $\lambda \rightarrow \infty$.
Sappiamo che in $L^2$ il sistema $\{1,cos(nx),sen(nx)\}$ è ortogonale e completo e che i coefficenti di Fourier di $f$ rispetto a questo sistema sono: $f_n = (f, e_n) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{−i nx} dx$
Scrivendo $n$ al posto di $\lambda$ si ottiene: $ \b_n=int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(\lambda x)dx $ è un coefficente di Fourier, ed effettivamente per la disuguaglianza di Bessel tende a $0$ poiché:
$\sum_{k=n+1}^{n+p}|f_k|^2 \rightarrow 0$ (cfr. p. 72)
Ciò che mi lascia perplessa è che il teorema di completezza delle funzioni trigonometriche afferma che il sistema ortogonale scritto sopra è completo in $L^2[0,2\pi]$ e per definizione i coefficienti di Fourier sono:
$f_n = (f , e_n) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{−i nx} dx$
con estremi di integrazione $-\pi$ e $\pi$, non $a$ e $b$ generici.
Quindi la domanda è: i numeri: $g_n = (f , e_n) =\frac{1}{2\pi}\int_{a}^{b}f(x)e^{−i nx} dx$ (e quindi poi $\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx$)
i) sono coefficenti di Fourier?
ii) posso applicare la disuguaglianza di Bessel?
In realtà temo di essere annegata in un bicchier d'acqua ma non riesco proprio a venirne a capo. Cosa sto sbagliando?
Grazie a chi avrà voglia di darmi qualche indizio in merito!
Saluti!
Risposte
Hai ragione, c'è qualcosa che non va. Se non prendi un intervallo della lunghezza giusta non puoi applicare la disuguaglianza di Bessel, perché il sistema trigonometrico non è ortogonale. Per esempio,
\[\int_0^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\, dx= \frac{1}{2} \ne 0.\]
Anche il sistema dei soli seni potrebbe non essere ortogonale, eh. Per esempio
\[\int_0^{\pi/2} \sin(x)\sin(2x)\, dx=\frac{2}{3}\ne 0.\]
\[\int_0^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\, dx= \frac{1}{2} \ne 0.\]
Anche il sistema dei soli seni potrebbe non essere ortogonale, eh. Per esempio
\[\int_0^{\pi/2} \sin(x)\sin(2x)\, dx=\frac{2}{3}\ne 0.\]
Mi sorprende il fatto che su altri libri e dispense varie che ho controllato non viene mai riportato il teorema nella forma che ho scritto sopra. Ad esempio, il Kolmogorov Fomin (p.402) credo che sfrutti la densità di $C^1[a,b]$ in $L^2[0,\2pi]$ [size=85](spero che ciò sia vero, ma come si dimostra?)[/size]
Integrando per parti si ottiene:
$\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx = -f(x)\frac{cos(\lambda x)}{\lambda}| _{a}^{b} + \int_{a}^{b}\f'(x)\frac{cos \lambda x}{\lambda} dx \rightarrow 0$
Provando a dimostrare ho ottenuto che:
$|\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx | \leq max_{x\in [a,b]}|-f(x)| \frac{1}{\lambda}+ \int_{a}^{b}\|f'(x)\| \frac{1}{\lambda} dx $
Sia $|-f(x)|$ sia $|-f'(x)|$ sono limitate da una costante $M$ sul compatto poiché sono continue, quindi:
$lim_{\lambda \rightarrow \infty}|\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx | \leq \lim_{\lambda \rightarrow \infty}(\frac{M}{\lambda}+ \int_{a}^{b} \frac{M}{\lambda} dx) \rightarrow 0$
Questa piccola dimostrazione è corretta così come l'ho scritta?
Tuttavia non ho risolto il mio problema principale e non riesco a capire se la dimostrazione del mio primo post è da buttare via (a meno di prendere $a=-\pi$ e $b=\pi$) oppure no?
Integrando per parti si ottiene:
$\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx = -f(x)\frac{cos(\lambda x)}{\lambda}| _{a}^{b} + \int_{a}^{b}\f'(x)\frac{cos \lambda x}{\lambda} dx \rightarrow 0$
Provando a dimostrare ho ottenuto che:
$|\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx | \leq max_{x\in [a,b]}|-f(x)| \frac{1}{\lambda}+ \int_{a}^{b}\|f'(x)\| \frac{1}{\lambda} dx $
Sia $|-f(x)|$ sia $|-f'(x)|$ sono limitate da una costante $M$ sul compatto poiché sono continue, quindi:
$lim_{\lambda \rightarrow \infty}|\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)dx | \leq \lim_{\lambda \rightarrow \infty}(\frac{M}{\lambda}+ \int_{a}^{b} \frac{M}{\lambda} dx) \rightarrow 0$
Questa piccola dimostrazione è corretta così come l'ho scritta?
Tuttavia non ho risolto il mio problema principale e non riesco a capire se la dimostrazione del mio primo post è da buttare via (a meno di prendere $a=-\pi$ e $b=\pi$) oppure no?
Dunque, il discorso di sfruttare la disuguaglianza di Bessel usa in modo ineludibile l'ortogonalità del sistema trigonometrico. La completezza non serve ma l'ortogonalità si, in modo sostanziale. Pertanto se ti metti in un intervallo in cui il sistema trigonometrico non è ortogonale quel discorso non puoi farlo.
Però il professore vuole intendere che il lemma di Riemann Lebesgue non dipende dall'ortogonalità, ma è proprio una conseguenza della forma oscillante delle funzioni trigonometriche. Quindi non occorre mettersi in intervalli particolari, esso vale in ogni intervallo \([a, b]\) (e, aggiungo io, pure in \((-\infty, \infty)\)).
La dimostrazione che hai dato tu va bene, anche se manca il passaggio da \(f \in C^1\) al caso generale \(f \in L^1\) (va benissimo usare un argomento di densità, ci metterai un attimo). [size=85](*)[/size] Altrimenti puoi seguire la strada del tuo prof. Personalmente preferisco la tua dimostrazione.
_________________________
(*) Questi risultati di densità si possono dimostrare in molti modi. Una strada è partire dal grand result secondo cui \(C_c^\infty(\mathbb{R})\) (funzioni lisce a supporto compatto) è denso in \(L^p(\mathbb{R})\) per ogni \(1\le p < \infty\), fatto che si può dimostrare usando successioni di mollificatori, e poi industriarsi per estenderlo anche ad intervalli di forma diversa.
Però il professore vuole intendere che il lemma di Riemann Lebesgue non dipende dall'ortogonalità, ma è proprio una conseguenza della forma oscillante delle funzioni trigonometriche. Quindi non occorre mettersi in intervalli particolari, esso vale in ogni intervallo \([a, b]\) (e, aggiungo io, pure in \((-\infty, \infty)\)).
La dimostrazione che hai dato tu va bene, anche se manca il passaggio da \(f \in C^1\) al caso generale \(f \in L^1\) (va benissimo usare un argomento di densità, ci metterai un attimo). [size=85](*)[/size] Altrimenti puoi seguire la strada del tuo prof. Personalmente preferisco la tua dimostrazione.
_________________________
(*) Questi risultati di densità si possono dimostrare in molti modi. Una strada è partire dal grand result secondo cui \(C_c^\infty(\mathbb{R})\) (funzioni lisce a supporto compatto) è denso in \(L^p(\mathbb{R})\) per ogni \(1\le p < \infty\), fatto che si può dimostrare usando successioni di mollificatori, e poi industriarsi per estenderlo anche ad intervalli di forma diversa.
"dissonance":
Dunque, il discorso di sfruttare la disuguaglianza di Bessel usa in modo ineludibile l'ortogonalità del sistema trigonometrico. La completezza non serve ma l'ortogonalità si, in modo sostanziale. Pertanto se ti metti in un intervallo in cui il sistema trigonometrico non è ortogonale quel discorso non puoi farlo.
Scusa ancora, ma allora alla luce di quello che scrivi non riesco a capire la logica che sta dietro alla frase delle dispense :
...il risultato segue immediatamente dalla convergenza a 0 dei coefficienti di Fourier rispetto a qualunque sistema ortonormale (disuguaglianza di Bessel)
Perché parla della disuguaglianza di Bessel, e quindi dell'ortogonalità, se poi non si può utilizzare (perché il sistema non è ortogonale) e si fanno invece considerazioni di tipo diverso:
"dissonance":
il professore vuole intendere che il lemma di Riemann Lebesgue non dipende dall'ortogonalità, ma è proprio una conseguenza della forma oscillante delle funzioni trigonometriche. Quindi non occorre mettersi in intervalli particolari, esso vale in ogni intervallo \([a, b]\) (e, aggiungo io, pure in \((-\infty, \infty)\)).
?
L'altra dimostrazione mi convince di più invece.
"dissonance":
La dimostrazione che hai dato tu va bene, anche se manca il passaggio da $f \in C^1$ al caso generale $f \in L^1$ (va benissimo usare un argomento di densità, ci metterai un attimo). (*) Altrimenti puoi seguire la strada del tuo prof. Personalmente preferisco la tua dimostrazione.
Proverò a lavorarci un po' appena ho tempo!
Grazie per i suggerimenti!
Mah, senti, io direi che il professore ha avuto una piccola svista. Il lemma discende da ortogonalità e disuguaglianza di Bessel solo se \(a=-\pi, b=\pi, \lambda \in \mathbb{N}\), altrimenti bisogna argomentare in altra maniera.
"dissonance":
Mah, senti, io direi che il professore ha avuto una piccola svista. Il lemma discende da ortogonalità e disuguaglianza di Bessel solo se \(a=-\pi, b=\pi, \lambda \in \mathbb{N}\), altrimenti bisogna argomentare in altra maniera.
Allora avevo capito bene quello che avevi scritto nella tua prima risposta! Grazie mille ancora!
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