Lemma di Jordan

[MagnoliaKaki]

La seguente funzione
$f(z)= frac {e^{iz alpha}}{z^2+ alpha^2}$
ha due poli semplici in $z=pm i abs {alpha}$ e soddisfa il lemma di Jordan nei due quadranti superiori per $alpha>0$ e nei due quadranti inferiori per $alpha<0$.

In generale, posso scrivere:
$oint_Gamma f (z)e^{iz} dz=int_{-r} ^{+r} f (x)e^{ix}dx + int_C f (z)e^{iz}dz= I_r + int_C f (z)e^{iz}dz$
dove C è un percorso a semicerchio nei quadranti superiori. Il lemma di Jordan mi da la condizione per la quale l'integrale su C tende a zero e quindi $I_r $ è convergente e posso calcolarlo tramite il teorema dei residui.

Ecco, il mio problema sta nell'applicazione del lemma di Jordan. Nell'esercizio postato, per esempio, perché la funzione lo soddisfa? Il significato del teorema mi è sufficientemente chiaro ma non ho idea di come tradurlo in una condizione "pratica" che la funzione debba soddisfare.

Grazie per l'eventuale aiuto!

[fisicarlo]

[cancellato]

[dissonance]

"fisicarlo":
e sostituendo $z=R*exp(itheta)$ si ha
$f(R*e^(itheta))=1/(R^2*e^(2i*theta)+alpha^2)<1/(R^2*e^(2i*theta))<=abs(1/(R^2*e^(2i*theta)))=1/R^2*$

secondo me ci vuole un modulo sulla $f(R e^{i\theta})$

[fisicarlo]

[cancellato]

[dissonance]

ho capito, ma io vedo un denominatore $R^2e^{2i\theta}+\alpha^2$, che è un numero complesso: cosa mi rappresenta una disuguaglianza con i numeri complessi?

[fisicarlo]

"dissonance":ho capito, ma io vedo un denominatore $R^2e^{2i\theta}+\alpha^2$, che è un numero complesso: cosa mi rappresenta una disuguaglianza con i numeri complessi?

Ok, hai ragione, cancello tutto, dai... Dovrei dimostrare che:
$abs(1/(R^2*e^(2itheta)+Alpha^2))=1/abs((R^2*e^(2itheta)+alpha^2))<1/abs((R^2*e^(2itheta)))=1/(R^2)$
ma non ci riesco, anche se intuitivamente mi sembra ovvio che debba essere così.. ,

Forse:
$abs(1/((R^2*e^(2itheta)+alpha^2))=abs((R^2*e^(-2itheta)+alpha^2)/((R^2*e^(2itheta)+alpha^2)(R^2*e^(-2itheta)+alpha^2)))$

$=abs((R^2*e^(-2itheta)+alpha^2)/(R^4+alpha^4+2alpha^2*R^2cos(2theta)))<$

$
$=abs((R^2+alpha^2)/(R^4+alpha^4+2alpha^2*R^2cos(2theta)))$

$=(R^2+alpha^2)/(R^4+alpha^4+2alpha^2*R^2cos(2theta))<$

$<(R^2+alpha^2)/(R^4)=$

$=(1+(alpha/R)^2)/(R^2)=$

e

$lim_(R->infty)(1+(alpha/R)^2)/(R^2)=0$

Ma questa "dimpostrazone" (Ammesso e non concesso che sia corretta...) fa veramente schifo...

[Light_1]

Sarà che studio fisica,ma personalmente mi ritrovo a calcolare residui tutti i giorni

Riporto la dimostrazione del lemma per chi ne fosse interessato

Considerato l'integrale

$ I_R=int_(C_R)e^(ialphaz)f(z)dz $

dove $C_R$ è una semicirconferenza nel semipiano \( \Im z>0 \) di raggio R e centro l'origine,$alpha$ parametro reale positivo ed $f$ una funzione che tende uniformemente a zero,per $0
$ lim_(R -> oo) I_R=0 $

Prima di tutto su $C_R$ si ha

$z=Re^(iphi)$ $dz=iRe^(iphi)dphi$ per $(0<=phi<=pi)$ quindi

$ I_R=iRint _(0)^(pi) e^(iRalpha(cosphi+isinphi))f(Re^(iphi))e^(iphi)dphi $

Per ipotesi $f(z)$ tende uniformemente a zero per $0 per R sufficentemente grande si avrà allora sicuramente

$ |f(Re^(iphi))|<=epsilon(R) $ essendo

$epsilon(R)=Max|f(Re^(iphi))|$, per $0
una funzione dipendente esclusivamente da R e tendente a zero per $R$ $ rarr $ $oo$ , ma allora

$ |I_R|<=Repsi(R)int _(0)^(pi)e^(-alphaRsinphi)dphi=2Repsi(R)int _(0)^(pi/2)e^(-alphaRsinphi)dphi $

Ora in questo intervallo , la funzione $(sinphi)/(phi)$ è una funzione monotona decrescente, in particolare si ha

$ 2/pi<=(sinphi)/(phi)<=1 $ per $0
$ sinphi>=(2phi)/pi $

dunque riprendendo l'integrale si ha

$ |I_R|<=2Repsi(R)int _(0)^(pi/2)e^((-(2alphaR)/pi)phi)dphi=piepsilon(R)(1-e^(-alphaR))/alpha $

Se ora $alpha>0$ allora chiaramente $ lim_(R -> oo) I_R=0 $

Si vede anche che le considerazioni fatte continuano a valere anche per $alpha=0$ se $f(z)=o(1/|z|))$,
o nel caso di parametro negativo a patto di considerare il semipiano inferiore.

[MagnoliaKaki]

Grazie per le risposte! Devo dire che almeno ho compreso come va impostata la dimostrazione.

Light anche io sto preparando questo esame per fisica. Tu che libri usi?

[Light_1]

Per lo più ho seguito il Prof.

lui comunque ci consigliò:

Cesare Rossetti-Metodi matematici della Fisica.

Ho trovato molte utili anche queste dispense, un pò vecchiotte


http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/web_ ... -Prima.pdf
http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/web_ ... econda.pdf

[MagnoliaKaki]

Ricapitolando, per dimostare che $f(z)$ soddisfa il lemma di Jordan devo dimostare che $lim_{|z| rightarrow infty} f(z)=0$ o in questo caso:
$lim_{|z| rightarrow infty} 1/{z^2 + alpha^2}$, con $alpha in RR$
(o almeno così suggeriscono le mie dispense). Sono molto scarsa nelle dimostrazioni quindi abbiate pazienza se dico delle sciocchezze.

In primis, non sono sicura di cosa voglia dire $|z| rightarrow infty$.

[dissonance]

"fisicarlo":[quote="dissonance"]ho capito, ma io vedo un denominatore $R^2e^{2i\theta}+\alpha^2$, che è un numero complesso: cosa mi rappresenta una disuguaglianza con i numeri complessi?

Ok, hai ragione, cancello tutto, dai... Dovrei dimostrare che:
$abs(1/(R^2*e^(2itheta)+Alpha^2))=1/abs((R^2*e^(2itheta)+alpha^2))<1/abs((R^2*e^(2itheta)))=1/(R^2)$
ma non ci riesco, anche se intuitivamente mi sembra ovvio che debba essere così.. ,[/quote]
Quello che hai fatto nello spoiler mi sembra andare bene. Altrimenti potevi osservare che la frazione $1/(|R^2 e^{2i\theta}-\alpha^2|)$ è massima quando il denominatore è minimo e che questo avviene per $\theta=0$ (modulo \(2\pi\)), per cui hai la stima
\[
\left\lvert \frac{1}{R^2e^{2i\theta}-\alpha^2}\right\rvert \le \frac{1}{R^2-\alpha^2}=\frac{1}{R^2}+o\left(\frac{1}{R^2}\right), \]
eccetera. E' lo stesso risultato che hai ottenuto tu.

@MagnoliaKaki: per definizione, $\lim_{|z|\to \infty}f(z)=L$ significa che per ogni $epsilon$ esiste $R>0$ tale che $|f(z)-L|\le \epsilon$ quando $|z|\ge R$. All'atto pratico, conviene calcolare questi limiti usando le coordinate polari. Hai infatti che
\[
\lim_{|z|\to \infty} f(z)=L\quad \iff \quad \lim_{r\to + \infty} f(r e^{i\theta})=L\]
dove la relazione a destra deve essere uniforme rispetto a \(\theta\).

[fisicarlo]

"dissonance":[quote="fisicarlo"][quote="dissonance"]ho capito, ma io vedo un denominatore $R^2e^{2i\theta}+\alpha^2$, che è un numero complesso: cosa mi rappresenta una disuguaglianza con i numeri complessi?

Ok, hai ragione, cancello tutto, dai... Dovrei dimostrare che:
$abs(1/(R^2*e^(2itheta)+Alpha^2))=1/abs((R^2*e^(2itheta)+alpha^2))<1/abs((R^2*e^(2itheta)))=1/(R^2)$
ma non ci riesco, anche se intuitivamente mi sembra ovvio che debba essere così.. ,[/quote]
Quello che hai fatto nello spoiler mi sembra andare bene. Altrimenti potevi osservare che la frazione $1/(|R^2 e^{2i\theta}-\alpha^2|)$ è massima quando il denominatore è minimo e che questo avviene per $\theta=-\pi/2$, per cui hai la stima
\[
\left\lvert \frac{1}{R^2e^{2i\theta}-\alpha^2}\right\rvert \le \frac{1}{R^2-\alpha^2}=\frac{1}{R^2}+o\left(\frac{1}{R^2}\right), \]
eccetera. E' lo stesso risultato che hai ottenuto tu.

@MagnoliaKaki: per definizione, $\lim_{|z|\to \infty}f(z)=L$ significa che per ogni $epsilon$ esiste $R>0$ tale che $|f(z)-L|\le \epsilon$ quando $|z|\ge R$. All'atto pratico, conviene calcolare questi limiti usando le coordinate polari. Hai infatti che
\[
\lim_{|z|\to \infty} f(z)=L\quad \iff \quad \lim_{r\to + \infty} f(r e^{i\theta})=L\]
dove la relazione a destra deve essere uniforme rispetto a \(\theta\).[/quote]

Ecco, questa era la dimostrazione giusta !! Lo sapevo che ci doveva essere un modo più elegante e meno rozzo del mio !!

P.S.: mi piace molto quello che hai scritto dopo: "all' atto pratico", così si spiega la matematica se la si vuole far capire a un povero disgraziato, bravo !!

P.S.2: però ripensandoci un attimo la cosa che si doveva minimizzare era il modulo del denominatore, e questo significare minimizzare la distanza nel piano complesso tra i punti $alpha^2$ sull'asse reale e la circonferenza centrata nell'origine con raggio R. Tale distanza secondo me risulta minima quando tale circonferenza taglia l'asse reale positivo, cioè per $2theta=2npi$ => $theta =n*pi$, e non $-pi/2$....
Mi sbaglio ??
Tra l'altro $e^(2i(-pi/2))=e^(-ipi)=-1$, e quindi usando quel $theta$ nella frazione avresti $abs(-1/(R^2+alpha^2))$, e non $"abs(1/(R^2-alpha^2))$

[dissonance]

Si, è \(\theta = 0\), hai ragione. Comunque il concetto è che uno ragiona sugli ordini di grandezza delle cose: qui $R$ tende a infinito, quindi tutte le altre quantità sono trascurabili al suo confronto. Per esempio, uno poteva pure ragionare così, più brutalmente:
\[
\frac{1}{|R^2e^{2i\theta} - \alpha^2|}=\frac{1}{R^2}\frac{1}{\left\lvert e^{2i\theta}-\frac{\alpha^2}{R^2}\right\rvert}\le \frac{C}{R^2}\]
se \(R\gg \alpha\), scrittura informale che in questo caso significa, per esempio, $R>2\alpha$. In questo caso, infatti, il termine $\alpha^2/R^2$ si tiene lontano da $1$ e tutta quella roba che moltiplica \(\frac1{R^2}\) è una funzione limitata, per cui si può controllare con una costante \(C>0\) che non c'è bisogno di calcolare esplicitamente.