Lemma di Gronwall
Sul Giusti-Lezioni di Analisi Matematica II trovo questo lemma, di cui Giusti dà una dimostrazione:
Sia $I$ un intervallo aperto di $RR$, sia $w : I -> RR$ una funzione di classe $C^1$. Supponiamo che esistano due costanti $epsilon >= 0 \ , \ Q>0$ tali che
$forall t in I, \ |w'(t)|<= epsilon + Q|w(t)|$.
Allora $forall t, t_0 in I, \ |w(t)| <= (epsilon/Q + |w(t_0)|) e^(Q|t-t_0|)$.
Tra gli esercizi Giusti propone di generalizzare il lemma precedente al caso $w : I -> RR^n$, e sostituendo il modulo in $RR$ con la norma euclidea di $RR^n$.
Qualcuno saprebbe aiutarmi nel dimostrare questo lemma di Gronwall per funzioni vettoriali di variabile reale??
Sia $I$ un intervallo aperto di $RR$, sia $w : I -> RR$ una funzione di classe $C^1$. Supponiamo che esistano due costanti $epsilon >= 0 \ , \ Q>0$ tali che
$forall t in I, \ |w'(t)|<= epsilon + Q|w(t)|$.
Allora $forall t, t_0 in I, \ |w(t)| <= (epsilon/Q + |w(t_0)|) e^(Q|t-t_0|)$.
Tra gli esercizi Giusti propone di generalizzare il lemma precedente al caso $w : I -> RR^n$, e sostituendo il modulo in $RR$ con la norma euclidea di $RR^n$.
Qualcuno saprebbe aiutarmi nel dimostrare questo lemma di Gronwall per funzioni vettoriali di variabile reale??
Risposte
Se applicassi il lemma alle singole componenti $w_1, ...,w_n$... A occhio mi pare che funzioni. Cosa non va?
Ma non è detto che se $||w'|| <= epsilon + Q ||w||$ allora $|w'_i| <= epsilon + Q |w_i| $
Nessuna idea?
Sul fatto che passando dalle singole componenti non andiamo da nessuna parte hai ragione. Probabilmente una strada percorribile sarà, invece, seguire il filo della dimostrazione del libro per funzioni a valori reali. (Purtroppo al momento non mi viene in mente niente di meglio di questa fesseria... 
)
P.S.: Per curiosità, questo lemma è propedeutico a quale teorema? (Sembra qualcosa che ha a che fare con le equazioni differenziali, o mi sbaglio?)
)P.S.: Per curiosità, questo lemma è propedeutico a quale teorema? (Sembra qualcosa che ha a che fare con le equazioni differenziali, o mi sbaglio?)
Si, è un lemma per dimostrare il teorema di esistenza globale delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali in forma normale del primo ordine sotto alcune ipotesi.
Secondo me non c'è niente da dimostrare in più. Il lemma di Gronwall ti dice che se una funzione non-negativa $f: I \to \RR$ soddisfa $f'(t) \le \alpha + \beta f(t)$, allora $f(t) \leq \alpha e^(\beta |t - t_0|)$ (qui potrei aver sbagliato qualche costante, ma il concetto è quello).
Se prendi $f$ il modulo di una funzione da $I$ in $\RR$ o la norma euclidea di una funzione da $I$ in $\RR^n$ non cambia assolutamente niente.
Se prendi $f$ il modulo di una funzione da $I$ in $\RR$ o la norma euclidea di una funzione da $I$ in $\RR^n$ non cambia assolutamente niente.
Dunque fissiamo $p>1$ e poniamo $\phi(t):=||w(t)||^p$ (l'idelae darebbe $p=1$, ma allora $\phi$ non viene differenziabile).
Si ha $\phi'(t)=\frac{p}{||w(t)||^{p-2}}$ da cui
$|\phi'|\leq p||w'|| ||w||^{p-1}\leq p||w||^{p-1}(\epsilon +Q||w||)$
Sia $q$ tale che $1/p + 1/ q =1$; ricordando che $|ab|\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$, otteniamo
$|\phi'|\leq p Q ||w||^{p}+p\epsilon||w||^{p-1} \leq p Q ||w||^{p} +\epsilon^p +p/q ||w||^{(p-1)/q} = p Q ||w||^{p} +\epsilon^p +(p-1) ||w||^{p} = (p Q+p-1) ||w||^{p} +\epsilon^p $
Applicando il risultato unidimensionale si ricava
$||w(t)||^p\leq (\frac{\epsilon^p}{p Q +p-1}+||w(t_o)||^p)e^{(p Q+p-1)|t-t_0|}$
Se mandi $p$ a $1$ trovi la disuguaglianza cercata. Sperando di non aver commesso errori.
Si ha $\phi'(t)=\frac{p}{||w(t)||^{p-2}}
$|\phi'|\leq p||w'|| ||w||^{p-1}\leq p||w||^{p-1}(\epsilon +Q||w||)$
Sia $q$ tale che $1/p + 1/ q =1$; ricordando che $|ab|\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$, otteniamo
$|\phi'|\leq p Q ||w||^{p}+p\epsilon||w||^{p-1} \leq p Q ||w||^{p} +\epsilon^p +p/q ||w||^{(p-1)/q} = p Q ||w||^{p} +\epsilon^p +(p-1) ||w||^{p} = (p Q+p-1) ||w||^{p} +\epsilon^p $
Applicando il risultato unidimensionale si ricava
$||w(t)||^p\leq (\frac{\epsilon^p}{p Q +p-1}+||w(t_o)||^p)e^{(p Q+p-1)|t-t_0|}$
Se mandi $p$ a $1$ trovi la disuguaglianza cercata. Sperando di non aver commesso errori.
Da ciò dobbiamo dedurre che Giusti è un sadico?
"Fioravante Patrone":
Da ciò dobbiamo dedurre che Giusti è un sadico?
Non so, povero Giusti!!! Forse non si era posto neanche il problema!!! Però mi dà un certo fastidio che su un libro di Analisi 2 si debba lasciare per esercizio una dimostrazione di una cosa utile come il lemma di Gronwall pluridimensionale. E mi dà ancora più fastidio che il professore non abbia minimamente citato il caso vettoriale, quando invece il teorema di esistenza globale, che da esso discende, viene usato anche nel caso multidimensionale per dire che un sistema lineare ha soluzioni globali.
Per ViciousGoblinEnters: grazie!! Ma l'hai trovata scritta o l'hai inventata te la dimostrazione? Se siamo nel secondo caso ti faccio i miei più vivi complimenti e ti chiedo se fosse stato possibile per uno studente del secondo anno, che odia l'analisi come me, riuscire a dare una dimostrazione.
"NightKnight":
E mi dà ancora più fastidio che il professore non abbia minimamente citato il caso vettoriale, quando invece il teorema di esistenza globale, che da esso discende, viene usato anche nel caso multidimensionale per dire che un sistema lineare ha soluzioni globali.
Commento tecnico
Se il tuo prof ha usato la strada del lemma di Gronwall, a mio parere avrebbe fatto bene a menzionare il "caso vettoriale".
Il lemma del signor G. non è comunque l'unica strada possibile da percorrere. Per l'unicità e l'esistenza globale si possono seguire altre strade (le approssimazioni successive, nella versione "manuale" o in quella "sofisticata" che usa il teorema di punto fisso).
Da studente io avevo scoperto l'esistenza di questo lemma solo nel corso di controllo ottimo che teneva Zolezzi. Non a caso, visto che questo lemma dà anche un "plus" importante, al di là di unicità ed esistenza globale: permette di ottenere ad esempio stime su come si scostino tra loro soluzioni di pb di Cauchy. Ed in effetti lo si può usare per ottenere una cosa importante: la "dipendenza continua dai dati" delle soluzioni di un pb di Cauchy. Vedi:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... i_dati.pdf
Tra l'altro questi appunti contengono una versione integrale e non differenziale del lemma di Gronwall, che non soffre delle difficoltà presenti nella proposta di irenze e poi risolte dall'intervento di VGE
"NightKnight":
[quote="Fioravante Patrone"]Da ciò dobbiamo dedurre che Giusti è un sadico?
Non so, povero Giusti!!! Forse non si era posto neanche il problema!!! Però mi dà un certo fastidio che su un libro di Analisi 2 si debba lasciare per esercizio una dimostrazione di una cosa utile come il lemma di Gronwall pluridimensionale. E mi dà ancora più fastidio che il professore non abbia minimamente citato il caso vettoriale, quando invece il teorema di esistenza globale, che da esso discende, viene usato anche nel caso multidimensionale per dire che un sistema lineare ha soluzioni globali.
Per ViciousGoblinEnters: grazie!! Ma l'hai trovata scritta o l'hai inventata te la dimostrazione? Se siamo nel secondo caso ti faccio i miei più vivi complimenti e ti chiedo se fosse stato possibile per uno studente del secondo anno, che odia l'analisi come me, riuscire a dare una dimostrazione.[/quote]
Me la sono inventata, ma devo ammettere di avere un po' di esperienza in materia ...in effetti il lemma di Gronwall solitamente si dimostra direttamente nel caso pluridimensionale e il
procedimento del Giusti mi sembra un po' una "ganzata" fine a se stessa.
Comunque l'idea di fondo non e' poi cosi' complicata; se $w(t)$ fosse sempre diverso da zero, allora $||w(t)||$ sarebbe derivabile e si avrebbe
$||w||'= \
Puo' anche darsi che il caso generale si possa mettere a posto in modo piu' semplice di quello che ho usato io - che e' quello di usare $||w||^p$ invece di $||w||$, di trovare una stima per
$||w||^p$ e (alla fine - quando non c'e' piu' la derivata) far tendere $p$ a uno. Ripeto che forse si puo' trovare un modo piu' semplice di procedere.
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