Lemma di Fatou e sua applicazione

[Sk_Anonymous]

Il lemma di Fatou ha il seguente corollario: sia $f_n$ una successione di funzioni da $X$ (spazio di misura con sigma-algebra $\mathcal{M}$ e misura $mu$) a $[0;+\infty]$ misurabili. Se $f_n->f$ puntualmente e $\int_X f\dmu=\+infty$, allora $lim_{n to +oo}\int_X f_n dmu=+oo$. Applicando questo risultato, vorrei provare che $lim_{x\to 0^-}\int_0^{+oo}t^{x-1}e^-tdt=+\infty$.
Calcolo che $lim_{x\to 0^-}t^{x-1}e^-t=1/t * e^{-t}=:g(t)$ (*). Poi dimostro che $\int_0^{\infty}g(t)dt=+\infty$ e concludo, applicando il lemma (sia pure con tutte le dovute precauzioni, in quanto questa non è esattamente una successione di funzioni).

Il mio dubbio è il seguente: il mio docente ha detto che, arrivato al passaggio (*), non posso applicare il teorema della convergenza monotona. Potreste spiegarmi il motivo?

[dissonance]

Perché $f_x(t)=t^(x-1)e^(-t)$ non tende a $g(t)$ crescendo. Ad esempio per $x=-2$ hai $t^(-3)e^(-t)$, per $x=-1$ hai $t^(-2)e^(-t)$. Ecco i grafici in $(0, 2)$ (in nero per $x=-2$, in rosso per $x=-1$):
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0;ymax=2; axes();
stroke="black"; plot("x^(-3)*exp(-x)"); stroke="red"; plot("x^(-2)*exp(-x)");[/asvg]

[Sk_Anonymous]

Più esauriente di così non si può
Grazie mille per l'aiuto.