Lemma di Fatou (dimostrazione non chiara)

[salvozungri]

Salve a tutti, ho ripreso a studiare dopo la pausa di Capodanno e non potete capire la fatica (o forse sì ). ho sotto le mani il celeberrimo lemma di Fatou ma non riesco a capire la dimostrazione, o meglio ho qualche dubbio su delle mie considerazioni (scritte in rosso nella dimostrazione).


Teorema: Sia [tex]\left\{f_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] una successione di funzioni integrabili non negative tale che [tex]\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\int_X f_n d\mu<\infty[/tex] allora:
[tex]\displaystyle\int_X \liminf_{n\to\infty}f_n d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n d\mu[/tex]

Dimostrazione: Fissiamo [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], definiamo la funzione:
[tex]g_k:= \inf\left\{f_n, n\ge k\right\}[/tex]. Ogni [tex]g_k[/tex] è misurabile per la stabilità delle funzioni misurabili, inoltre è non negativa poichè per ipotesi la successione degli [tex]f_k[/tex] è non negativa.
Siccome [tex]0\le g_k\le f_k[/tex] allora [tex]g_k[/tex] è integrabile poichè maggiorata da una funzione integrabile quale è [tex]f_k[/tex].
Inoltre [tex]g_k\le g_{k+1}[/tex] ciò segue dalla definizione di [tex]g_k[/tex] e dalla monotonia dell'inf.

Dalla monotonia della successione [tex]g_k[/tex] abbiamo che [tex]g_k[/tex] ammette limite:

[tex]\displaystyle\lim_{k\to\infty} g_k = \liminf_{n\to\infty} f_n = f[/tex]

Per il teorema di Beppo Levi per le successioni Poichè [tex]\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\int_X f_n d\mu<\infty[/tex] allora [tex]f[/tex] è integrabile e inoltre:
"[tex]\displaystyle \int_X f d\mu =[/tex]" [tex]\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_X g_k d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n d\mu[/tex]

le mie note sono corrette? Ho dubbi soprattutto da Beppo Levi in poi

Beh grazie a coloro che si interesseranno

[gac1]

Una possibile conclusione della tua dimostrazione è questa:
per ogni $k\in NN$ fissato, $g_k$ è il limite monotono, per $m\to +\infty$, delle funzioni
$h_m = \text{inf} {f_k, f_{k+1}, ... , f_m}$, $m > k$.
Quindi per il teorema di Beppo Levi e dal fatto che $\int h_m <= \int f_n$ per ogni $n=k,...,m$, hai che
$\int g_k = \lim_m \int h_m \leq \text{inf}_{n\geq k}\int f_n \leq \text{liminf}\int f_n$.

A questo punto una ulteriore applicazione del teorema di Beppo Levi alla successione $(g_k)$ ti permette di concludere che $f = \lim_k g_k$ è integrabile e che vale la tesi.

[Personalmente preferisco non mettere l'ipotesi $\text{liminf}\int f_n < +\infty$ nell'enunciato del Lemma di Fatou, così si evitano queste complicazioni.]

[salvozungri]

Mmm... Non capisco... se [tex]\displaystyle\liminf \int_X f_n[/tex] non fosse finito, come posso asserire che la funzione [tex]f[/tex] è integrabile?
(spero non sia una domanda stupida )

[gac1]

Infatti, se non metti quell'ipotesi non puoi asserire che $f$ è integrabile, ma rimane vera la disuguaglianza nella tesi.
Naturalmente, per funzioni misurabili non negative, è inteso che $\int f$ valga $+\infty$ quando $f$ non è integrabile.

[salvozungri]

Capisco .. Scusa, mi sa che il mio prof ha ristretto la portata dei teoremi. In pratica come ipotesi per l'utilizzo del teorema di Beppo Levi ho che la successione [tex]\left\{h_n\right\}_{n\in\mathbb{N}[/tex] dev'essere non decrescente, non negativa , ciascun termine delle successione integrabile ed inoltre [tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \int_X h_n<+\infty[/tex], quando in realtà questa ipotesi non è necessaria ...

[gac1]

Esatto.
Sia il teorema di Beppo Levi che il lemma di Fatou posso essere enunciati senza richiedere che le funzioni limite siano integrabili.
Su alcuni libri, comunque, si trovano enunciati come li riporti tu.

[salvozungri]

Ok, credo che abbia fatto così in modo tale da avere che la funzione limite sia integrabile. Beh ti ringrazio per aver chiarito i miei dubbi, buona serata

[salvozungri]

Ciao, sono tornato .
Stavo pensando di risolvere questo passaggio in modo più veloce ed ho pensato che:

[tex]\displaystyle \int_X f d\mu =\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_X g_k d\mu=_{(1.1)}\liminf_{k\to\infty}\int_X g_k d\mu \le_{(1.2)} \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n d\mu[/tex]

L'uguaglianza [tex](1.1)[/tex] è assicurata dal fatto che il limite esiste, la disuguaglianza [tex](1.2)[/tex] segue da
[tex]\displaystyle g_k\le f_k\implies \int_X g_k \le \int _X f_k \implies\liminf \int_X g_k \le \liminf \int_X f_k[/tex]. Funge?

[gac1]

Questa è infatti la strategia "standard", che puoi usare se sei autorizzato a scrivere integrali eventualmente infiniti.
Quello che ti ho scritto serve a stabilire a priori l'integrabilità della $f$.

[salvozungri]

Ok ti ringrazio gac

[rospella1]

Ciao sono una studentessa della specialistica di matematica e devo dire la sincera verità che l'analisi non è mai stato il mio forte, mi sono incartata su una cosa del lemma di Fatou e frugando su internet ho trovato la vostra conversazione, qualcuno mi spiega perchè g_k

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[dissonance]

Penso di avere capito: quella successione $g_k(x)$ a cui fai riferimento potrebbe essere la successione degli inf definitivi di $f_n(x)$, e in quanto tale è crescente per ogni $x$. Quindi ad essa è possibile applicare il teorema di B.Levi e proseguire nella dimostrazione. Ti conviene spiegarti meglio, comunque: consulta questa pagina per imparare a scrivere per bene le formule. E benvenuta nel forum!

[EDIT] C'era un errore, gli inf definitivi sono di $f_n(x)$, non di $f(x)$: in formule $g_k(x)="inf"_{n>=k}\ f_n(x)$.

[rospella1]

ok grazie mille!

[dissonance]

C'era un errore nel mio post precedente, ora ho corretto.