Lemma di dubois reymond
Mi potete aiutare a trovare una dimostrazione di questo lemma?
sia $u\in L_{loc}^1(\Omega)$ con $\Omega\subset R^n$ aperto,
se $\int_\Omega u(x)\phi(x)dx=0$ per ogni $\phi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, allora $u=0$.
Il nostro prof ne ha dato una dimostrazione che usa i mollificatori di Friedrichs, ma solo nel caso $\Omega=R^n$. Come posso generalizzarla?
sia $u\in L_{loc}^1(\Omega)$ con $\Omega\subset R^n$ aperto,
se $\int_\Omega u(x)\phi(x)dx=0$ per ogni $\phi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, allora $u=0$.
Il nostro prof ne ha dato una dimostrazione che usa i mollificatori di Friedrichs, ma solo nel caso $\Omega=R^n$. Come posso generalizzarla?
Risposte
Dovresti trovarla sul Brezis, Analisi funzionale - teoria e applicazioni; mi pare nel 4 capitolo (quello sugli spazi [tex]$L^p$[/tex]).
Una possibilità la trovi sulle dispense di Gilardi(lemma 5.49), ma occhio a non confonderti perché lui usa una tecnica ad hoc in modo da non introdurre la convoluzione.
Puoi anche fare un discorso diverso usando delle particolari partizioni dell'unità.
Prendi $K \sub Omega$ compatto. Un risultato di topologia di $RR^n$ ti assicura che esiste una funzione $zeta\in C_C^infty(RR^N)$ a valori in $[0, 1]$ e tale che ${(zeta(x)=1, \forall x \in K), ("supp"zeta \sub Omega, ):}$ (ricordati che il supporto di $zeta$ è compatto).
Ora considera (il prolungamento banale del)la funzione $u zeta\in L_"loc"^1(RR^N)$. Per il risultato mostrato dal tuo professore questa funzione è q.o. nulla: infatti se $phi\inC_C^infty(RR^N)$, allora $zeta phi\inC_C^infty(Omega)$ (con le ovvie identificazioni del caso) e segue dall'ipotesi che $int_{RR^N}[u(x)zeta(x)]phi(x)=0$.
Da qui segue subito la tesi, perché hai mostrato che $u$ è q.o. nulla su ogni compatto contenuto in $Omega$ e ogni aperto di $RR^N$ è unione numerabile di compatti.
Puoi anche fare un discorso diverso usando delle particolari partizioni dell'unità.
Prendi $K \sub Omega$ compatto. Un risultato di topologia di $RR^n$ ti assicura che esiste una funzione $zeta\in C_C^infty(RR^N)$ a valori in $[0, 1]$ e tale che ${(zeta(x)=1, \forall x \in K), ("supp"zeta \sub Omega, ):}$ (ricordati che il supporto di $zeta$ è compatto).
Ora considera (il prolungamento banale del)la funzione $u zeta\in L_"loc"^1(RR^N)$. Per il risultato mostrato dal tuo professore questa funzione è q.o. nulla: infatti se $phi\inC_C^infty(RR^N)$, allora $zeta phi\inC_C^infty(Omega)$ (con le ovvie identificazioni del caso) e segue dall'ipotesi che $int_{RR^N}[u(x)zeta(x)]phi(x)=0$.
Da qui segue subito la tesi, perché hai mostrato che $u$ è q.o. nulla su ogni compatto contenuto in $Omega$ e ogni aperto di $RR^N$ è unione numerabile di compatti.
Grazie mille! Mi fa molto comodo la tua dimostrazione. Una cosa sola: è molto lungo dimostare che esiste la $\zeta$? per il lemma di Uryson so già che esiste una funzione del genere, però solo continua: posso andare avanti da qui?
No. Con la $zeta$ del lemma di Urysohn arrivi a mostrare che $[int_{Omega} u phi=0\,\ \forall \phi \in C_C ( Omega )] \Rightarrow u=0\ \text{q.o. in }\Omega$. Nota che $\phi \in C_C ( \Omega )$ non in $C_C^\infty (Omega)$. Questo risultato è certamente vero ma tu stai puntando a qualcosa di molto più forte.
In effetti l'esistenza di una $zeta$ come nella dimostrazione di questo teorema è una proprietà di $RR^N$ che un mio professore chiamava lemma di Urysohn di classe $C^\infty$ . Lo devi dimostrare direttamente. Visto che conosci la convoluzione e i mollificatori non è difficilissimo, più che altro è scocciante da formalizzare; ti dò una traccia poi se hai difficoltà ne riparliamo:
Hai $K \subset Omega$ compatto. L'idea è quella di "allargare" un po' $K$ ad un compatto $H$ che sia ancora un sottoinsieme compatto di $Omega$, e poi di formare la convoluzione $zeta_n= rho_n \star chi_H$. Per il teorema sul supporto della convoluzione, quando $n$ è sufficientemente grande $zeta_n$ ha il supporto in $Omega$. Inoltre puoi osservare che, sempre per $n$ sufficientemente grande, $zeta_n(x)=1$ quando $x \in K$. Precisamente questo avviene quando il supporto di $zeta_n$ è contenuto in una palla di raggio più piccolo della distanza di $K$ dal bordo di $H$. In conclusione, per $n$ sufficientemente grande, $zeta_n$ è la funzione che cerchi.
Osservazione: Questo teorema è un caso molto particolare di un teorema di geometria differenziale che afferma l'esistenza di partizioni dell'unità sulle varietà differenziabili. Quindi se non lo hai visto nei corsi di Analisi, probabilmente te lo ritroverai in quelli di Geometria.
In effetti l'esistenza di una $zeta$ come nella dimostrazione di questo teorema è una proprietà di $RR^N$ che un mio professore chiamava lemma di Urysohn di classe $C^\infty$ . Lo devi dimostrare direttamente. Visto che conosci la convoluzione e i mollificatori non è difficilissimo, più che altro è scocciante da formalizzare; ti dò una traccia poi se hai difficoltà ne riparliamo:
Hai $K \subset Omega$ compatto. L'idea è quella di "allargare" un po' $K$ ad un compatto $H$ che sia ancora un sottoinsieme compatto di $Omega$, e poi di formare la convoluzione $zeta_n= rho_n \star chi_H$. Per il teorema sul supporto della convoluzione, quando $n$ è sufficientemente grande $zeta_n$ ha il supporto in $Omega$. Inoltre puoi osservare che, sempre per $n$ sufficientemente grande, $zeta_n(x)=1$ quando $x \in K$. Precisamente questo avviene quando il supporto di $zeta_n$ è contenuto in una palla di raggio più piccolo della distanza di $K$ dal bordo di $H$. In conclusione, per $n$ sufficientemente grande, $zeta_n$ è la funzione che cerchi.
Osservazione: Questo teorema è un caso molto particolare di un teorema di geometria differenziale che afferma l'esistenza di partizioni dell'unità sulle varietà differenziabili. Quindi se non lo hai visto nei corsi di Analisi, probabilmente te lo ritroverai in quelli di Geometria.
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