Lemma di Abel
Salve a tutti,
vorrei chiedervi un aiuto per la dimostrazione di questo teorema.
Sia $sum_{n=0}^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ una serie di potenze di centro $x_0$ e coefficienti ${a_n}$. Allora:
1) Se tale serie converge in $bar{x} != x_0$ allora converge assolutamente in tutti gli x tali che $|x-x_0|<|bar{x}-x_0|$
2) Se non converge in $bar{x}$ allora non converge in alcun x tale che $|x-x_0|>|bar{x}-x_0|$
Dato che la serie $sum_{n=0}^(+oo) a_n(bar{x}-x_0)^n$ è convergente allora la successione $a_n(bar{x}-x_0)^n$ è infinitesima e quindi limitata, ossia esiste $M>=0$ tale che $|a_n(bar{x}-x_0)^n|<=M , AAn in NN$.
Quindi:
$|a_n(x-x_0)^n|=|a_n(bar{x}-x_0)^n||(x-x_0)/(bar{x}-x_0)|^n<=M|(x-x_0)/(bar{x}-x_0)|^n$
e tramite il teorema del confronto si verifica 1)
Ciò che non capisco è come si dimostra 2)
vorrei chiedervi un aiuto per la dimostrazione di questo teorema.
Sia $sum_{n=0}^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ una serie di potenze di centro $x_0$ e coefficienti ${a_n}$. Allora:
1) Se tale serie converge in $bar{x} != x_0$ allora converge assolutamente in tutti gli x tali che $|x-x_0|<|bar{x}-x_0|$
2) Se non converge in $bar{x}$ allora non converge in alcun x tale che $|x-x_0|>|bar{x}-x_0|$
Dato che la serie $sum_{n=0}^(+oo) a_n(bar{x}-x_0)^n$ è convergente allora la successione $a_n(bar{x}-x_0)^n$ è infinitesima e quindi limitata, ossia esiste $M>=0$ tale che $|a_n(bar{x}-x_0)^n|<=M , AAn in NN$.
Quindi:
$|a_n(x-x_0)^n|=|a_n(bar{x}-x_0)^n||(x-x_0)/(bar{x}-x_0)|^n<=M|(x-x_0)/(bar{x}-x_0)|^n$
e tramite il teorema del confronto si verifica 1)
Ciò che non capisco è come si dimostra 2)
Risposte
Per semplicità supponiamo la tua serie sia centrata nello $0$ ($x_0 = 0$).
Per assurdo, se la serie convergesse in $x$ tale che $| x | > | bar x |$, allora, per il primo punto della tua dimostrazione, dovrebbe convergere (assolutamente) anche in $bar x$, ciò che per ipotesi abbiamo escluso.
Mi pare che così possa funzionare...
Per assurdo, se la serie convergesse in $x$ tale che $| x | > | bar x |$, allora, per il primo punto della tua dimostrazione, dovrebbe convergere (assolutamente) anche in $bar x$, ciò che per ipotesi abbiamo escluso.
Mi pare che così possa funzionare...
... Povero Abel.
"Gi8":
Come "Lemma di Habel?"click
Tralasciando l'orrore del nome, non è quello che hai linkato il teorema in ballo...
@Seneca: si hai ragione. Ho scritto "teorema di Abel" su google e ho preso il primo link che ho visto.
Il mio obiettivo era solo evidenziare quale fosse la scrittura corretta.
Il mio obiettivo era solo evidenziare quale fosse la scrittura corretta.
ahahahah...avete ragione "Habel" è un orrore. Ero un po' sovrappensiero...
cmq grazie per la risp 
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