Lemma di Abel

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
mi sapreste spiegare il seguente teorema?

Lemma di Abel
$sum_(n=0)^(+∞)a_n (z-z_0 )^n$
${a_n}$ è una successione di numeri complessi
$z_0 in CC$

Se la serie converge in $z^*!=z_0$ allora essa converge totalmente in $ bar( B_delta (z_0 )) $ essendo $delta<|z^*-z_0 |$.
Se la serie non converge in $tilde(z)$ ̃allora non converge nei punti tali che $|tilde(z)-z_0 |<|z-z_0 |$

[Luca9712]

Vedi se risolvi leggendo:
viewtopic.php?t=92457&p=617004
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 019AAqvopH

[sirio25788-votailprof]

Il primo link si riferisce al Teorema di Abel che è un'altra cosa. Il secondo è attinente ma non ho capito ciò che viene spiegato.

[Luca9712]

Ho sbagliato a linkarti la ricerca... viewtopic.php?t=77738&p=536438

[sirio25788-votailprof]

Dell'enunciato che ho postato la cosa che mi è meno chiara e se $ bar(B_delta(z_0)) $ è il complementare di $B_delta(z_0)$ (cerchio di centro $z_0$ e raggio $delta$). Dato che $delta<|z^*-z_0|$ sembrerebbe di si. In pratica non capisco se converge dentro o fuori dal cerchio.

[Luca9712]

Aspettiamo pareri più autorevoli, non voglio sbilanciarmi dicendo qualcosa di cui non sono sicuro a netto svantaggio tuo e degli altri utenti.

[Seneca1]

"Sirio1988":Se la serie converge in $z^*!=z_0$ allora essa converge totalmente in $ bar( B_delta (z_0 )) $ essendo $delta<|z^*-z_0 |$.

Questo, anche se, devo dire, è un modo un po' involuto per scriverlo, significa che se la serie di potenze converge in un punto $z^\star$ che non sia $z_0$, allora converge totalmente in ogni disco chiuso centrato in $z_0$ e di raggio strettamente più piccolo della distanza tra $z_0$ e $z^\star$ (cioè di raggio $< |z^\star - z|$).

"Sirio1988":Se la serie non converge in $tilde(z)$ ̃allora non converge nei punti tali che $|tilde(z)-z_0 |<|z-z_0 |$

Se la serie non converge in un certo punto $\xi$, per tutti i punti $z$ tali che $|z_0 - \xi| < |z_0 - z|$ (cioè tutti i punti $z$ tali che la distanza di $z$ da $z_0$ sia strettamente maggiore della distanza di $\xi$ da $z_0$) la serie non converge.

[sirio25788-votailprof]

Perfetto. Grazie