Lemma del Grande Cerchio
E' giusta questa formulazione e la dim?
Data la $f(z)$ analitica in D, se $lim_{ztooo} zf(z) = l$, l'integrale di $f(z)$ su un'arco di circonferenza $gamma_r$ delimitato da $theta_1$ e $theta_2$ e di raggio R è dato da $jl(theta_2 - theta_1)$.
Infatti l'integrale su $gamma_r$ può essere sviluppato con $z = Re^(jt)$:
$int_{gamma_r}f(z)dz = int_(theta_1)^(theta_2) f( Re^(jt) ) jRe^(jt) dt$, il lim di questo integrale, passando all'integrale del lim diventa
$int_{gamma_r}j lim Re^(jt) f(Re^(jt)) dt$, se R->inf, $Re^(jt) = z ->oo$, quindi il lim nell'integrale vale l e resta da calcolare $int_{gamma_r}jl dz$...
In particolare se l = 0 l'integrale si annulla.
Data la $f(z)$ analitica in D, se $lim_{ztooo} zf(z) = l$, l'integrale di $f(z)$ su un'arco di circonferenza $gamma_r$ delimitato da $theta_1$ e $theta_2$ e di raggio R è dato da $jl(theta_2 - theta_1)$.
Infatti l'integrale su $gamma_r$ può essere sviluppato con $z = Re^(jt)$:
$int_{gamma_r}f(z)dz = int_(theta_1)^(theta_2) f( Re^(jt) ) jRe^(jt) dt$, il lim di questo integrale, passando all'integrale del lim diventa
$int_{gamma_r}j lim Re^(jt) f(Re^(jt)) dt$, se R->inf, $Re^(jt) = z ->oo$, quindi il lim nell'integrale vale l e resta da calcolare $int_{gamma_r}jl dz$...
In particolare se l = 0 l'integrale si annulla.
Risposte
Arkon ti suggerisco di imparare a scrivere le formule: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6289
In ogni caso per il lemma del grande cerchio la formulazione è quella, però formalmente hai omesso di precisare chi sono t1 e t2 e che tipo di insieme è D e poi perché da f(z) sei passato a un certo punto a f(t)?
In ogni caso per il lemma del grande cerchio la formulazione è quella, però formalmente hai omesso di precisare chi sono t1 e t2 e che tipo di insieme è D e poi perché da f(z) sei passato a un certo punto a f(t)?
Vediamo di sistemare un po' l'enunciato...
Fissiamo un punto $z_0 in CC$ e consideriamo l'insieme (angolo) $D = { z in CC : theta_0 <= arg(z-z_0) <= theta_1 }
Sia dunque $f$ definita e continua nei punti di $D$ con $|z-z_0| >= r_0$ per un $r_0 > 0$. Se $zf(z)$ converge per
$z to oo$, detto $l=lim_{ztooo}zf(z)$ ed indicato con $Gamma_r$ l'arco di circonferenza di centro $z_0$ e raggio $r > 0$ contenuto in $D$, risulta:
$lim_{rto+oo} int_{Gamma_r} f(z) dz = jl(theta_1-theta_0)$
Fissiamo un punto $z_0 in CC$ e consideriamo l'insieme (angolo) $D = { z in CC : theta_0 <= arg(z-z_0) <= theta_1 }
Sia dunque $f$ definita e continua nei punti di $D$ con $|z-z_0| >= r_0$ per un $r_0 > 0$. Se $zf(z)$ converge per
$z to oo$, detto $l=lim_{ztooo}zf(z)$ ed indicato con $Gamma_r$ l'arco di circonferenza di centro $z_0$ e raggio $r > 0$ contenuto in $D$, risulta:
$lim_{rto+oo} int_{Gamma_r} f(z) dz = jl(theta_1-theta_0)$
Grazie... è giusta anche la dimostrazione? Confesso di averla costruita da solo, perchè non ho trovato traccia nei testi a disp. Non sono certo del passaggio a lim sotto il segno di integrale, nè del passaggio da $R e^(jt)$ a $z$, cioè $lim_{Rtooo}Re^(jt) f(Re^(jt)) = lim_{ztooo}zf(z)$...
Arkon premetto che non so darti una risposta precisa riguardo alla tua dimostrazione... sarebbe giusta qualora il passaggio al limite sotto il segno di integrale fosse lecito ma non sono sicuro della sua liceità o almeno senza fare alcuna considerazione preliminare. Hai fatto un po' di confusione negli integrali: quando integri rispetto a $theta$ l'integrale non è esteso a $Gamma_r$ ma è tra $theta_1$ e $theta_2$... nell'ultimo integrale invece hai dimenticato una $z$ al denominatore... in ogni caso la sostanza non cambia, ho capito le tue intenzioni. Personalmente la dimostrazione del lemma del grande cerchio la conosco diversamente (più semplice, sfruttando una semplice proprietà degli integrali) e non c'è bisogno di passare al limite sotto il segno di integrale. Cmq il tuo procedimento se riesci a giustificare quel passaggio al limite è corretto.
Una seconda dimostrazione che ho incontrato vale per $l=0$, forse si può estendere al caso generale...
Se $lim_{ztooo}z f(z) = 0$, $|z f(z)| < epsilon => |f(z)| < epsilon/|z|$, ricordado che $|z|=R$ è il raggio del cerchio. Quindi $|int_{gamma_R}f(z)dz| <= int_{gamma_R}|f(z)|dz <= (theta_2 - theta_1)R epsilon/R => lim_{Rtooo} int_{gamma_R}f(z)dz= 0$, perchè l'integrale è maggiorato da $lunghezza dell'arco$ per $epsilon/R$. Scusate la superficialità...
Se $lim_{ztooo}z f(z) = 0$, $|z f(z)| < epsilon => |f(z)| < epsilon/|z|$, ricordado che $|z|=R$ è il raggio del cerchio. Quindi $|int_{gamma_R}f(z)dz| <= int_{gamma_R}|f(z)|dz <= (theta_2 - theta_1)R epsilon/R => lim_{Rtooo} int_{gamma_R}f(z)dz= 0$, perchè l'integrale è maggiorato da $lunghezza dell'arco$ per $epsilon/R$. Scusate la superficialità...
Generalmente (correggetemi se sbaglio) questo lemma si applica per dimostrare che un integrale è infinitesimo (p. es. nel caso di un integrale tra $-oo$ e $+oo$ di una funzione non singolare sull'asse reale:
$int_-oo^(+oo)f(z)dz = lim_{R->oo}int_-R^(R)f(z)dz$ e
$lim_(R->oo) ( int_-R^R f(z)dz + int_{Gamma_R} f(z)dz ) = lim_{Rtooo} oint_(delD) f(z)dz = 2 pi i sum Res(z_k)$
perchè l'intervallo -R,R e la semicirconferenza $Gamma_R$ formano un dominio $D$ il cui integrale sulla frontiera può essere calcolato con il teorema dei Residui. In sostanza con questo lemma si può dimostrare (in alcuni casi) che l'integrale sulla semicirconferenzxa è infinitesimo e quindi l'integrale cercato si riduce alla somma dei residui in particolari punti (quelli con parte immaginaria positiva). Piuttosto il lemma del Piccolo Cerchio in genere serve nella forma completa, nel caso di integrali di funzioni singolari in punti reali, per costruire un dominio come sopra ma che "salti" le discontinuità...
Potreste spiegarmi la vostra dimostrazione per uno di questi lemmi?
$int_-oo^(+oo)f(z)dz = lim_{R->oo}int_-R^(R)f(z)dz$ e
$lim_(R->oo) ( int_-R^R f(z)dz + int_{Gamma_R} f(z)dz ) = lim_{Rtooo} oint_(delD) f(z)dz = 2 pi i sum Res(z_k)$
perchè l'intervallo -R,R e la semicirconferenza $Gamma_R$ formano un dominio $D$ il cui integrale sulla frontiera può essere calcolato con il teorema dei Residui. In sostanza con questo lemma si può dimostrare (in alcuni casi) che l'integrale sulla semicirconferenzxa è infinitesimo e quindi l'integrale cercato si riduce alla somma dei residui in particolari punti (quelli con parte immaginaria positiva). Piuttosto il lemma del Piccolo Cerchio in genere serve nella forma completa, nel caso di integrali di funzioni singolari in punti reali, per costruire un dominio come sopra ma che "salti" le discontinuità...
Potreste spiegarmi la vostra dimostrazione per uno di questi lemmi?
Forse sei stato un po' impreciso o forse mi sfugge qualcosa in quello che hai scritto... in ogni caso le cose stanno così... Quando si vuole fare l'integrale esteso all'asse reale di una funzione $f$ si può ricorrere all'analisi complessa e precisamente alla teoria dei residui. Limitiamoci al caso delle funzioni razionali. Sia dunque $f(x)$ una funzione razionale fratta, indichiamo con $P(x)$ il numeratore e $Q(x)$ il denominatore e siano $P(x)$ e $Q(x)$ primi tra loro. Si sceglie una curva $Gamma$ che generalmente è il bordo di un semicerchio di centro $0$, raggio $r$ formato dai punti $z$ con
$Imz >= 0$ e percorsa in senso antiorario (indichiamo con $Gamma_r$ la semicirconferenza). Applicando la teoria dei residui l'integrale lungo il suddetto cammino risulta
$int_-r^rf(x)dx+int_(Gamma_r)f(z)dz=2pij(R[z_1]+...+R[z_i])$ dove $z_1,...,z_i$ sono le singolarità di $f$ contenute nel semicerchio.
A questo punto vanno fatte delle considerazioni. Se:
1)$Q$ non ha zeri reali
2)grado($Q$) $>=$ grado($P$)$+2$
allora la funzione integranda è sommabile su $RR$ e passando al limite per $r to +oo$, l'integrale tra $-r$ e $r$ diventa un integrale tra $-oo$ e $+oo$ mentre l'ingrale esteso a $Gamma_r$ è infinitesimo (si verifica facilmente), quindi in conclusione $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=2pij(R[z_1]+...+R[z_n])$ dove $z_1,...,z_n$ sono tutte le singolarità di $f$ aventi parte immaginaria positiva.
Il problema sorge se si cerca di indebolire le condizioni 1) e 2) con le seguenti:
1')$Q$ ha al più zeri semplici
2')grado($Q$) $>=$ grado($P$)$+1$
allora la sommabilità di $f$ non è garantita e l'integrale va inteso nel senso del valor principale. Per ovviare al problema degli zeri di $Q$ si ricorre al lemma del piccolo cerchio, mentre per calcolare l'integrale $int_(Gamma_r)f(z)dz$ che stavolta non è detto che sia infinitesimo si usa il lemma del grande cerchio. In definitiva risulta
$v.p. int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=2pij(R[z_1]+...+R[z_n])+pij(R[x_1]+...+R[x_k])+pijR[oo]$ dove $z_1,...,z_n$ sono tutte le singolarità di $f$ aventi parte immaginaria positiva e $x_1,...,x_k$ sono tutte le singolarità reali di $f$
$Imz >= 0$ e percorsa in senso antiorario (indichiamo con $Gamma_r$ la semicirconferenza). Applicando la teoria dei residui l'integrale lungo il suddetto cammino risulta
$int_-r^rf(x)dx+int_(Gamma_r)f(z)dz=2pij(R[z_1]+...+R[z_i])$ dove $z_1,...,z_i$ sono le singolarità di $f$ contenute nel semicerchio.
A questo punto vanno fatte delle considerazioni. Se:
1)$Q$ non ha zeri reali
2)grado($Q$) $>=$ grado($P$)$+2$
allora la funzione integranda è sommabile su $RR$ e passando al limite per $r to +oo$, l'integrale tra $-r$ e $r$ diventa un integrale tra $-oo$ e $+oo$ mentre l'ingrale esteso a $Gamma_r$ è infinitesimo (si verifica facilmente), quindi in conclusione $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=2pij(R[z_1]+...+R[z_n])$ dove $z_1,...,z_n$ sono tutte le singolarità di $f$ aventi parte immaginaria positiva.
Il problema sorge se si cerca di indebolire le condizioni 1) e 2) con le seguenti:
1')$Q$ ha al più zeri semplici
2')grado($Q$) $>=$ grado($P$)$+1$
allora la sommabilità di $f$ non è garantita e l'integrale va inteso nel senso del valor principale. Per ovviare al problema degli zeri di $Q$ si ricorre al lemma del piccolo cerchio, mentre per calcolare l'integrale $int_(Gamma_r)f(z)dz$ che stavolta non è detto che sia infinitesimo si usa il lemma del grande cerchio. In definitiva risulta
$v.p. int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=2pij(R[z_1]+...+R[z_n])+pij(R[x_1]+...+R[x_k])+pijR[oo]$ dove $z_1,...,z_n$ sono tutte le singolarità di $f$ aventi parte immaginaria positiva e $x_1,...,x_k$ sono tutte le singolarità reali di $f$
Quindi nel primo caso i lemmi non servono, solo nel secondo bisogna verificare di volta in volta i limiti...
"Arkon":
Quindi nel primo caso i lemmi non servono, solo nel secondo bisogna verificare di volta in volta i limiti...
esatto!!
La formula vale solo per zeri reali semplici (in effetti il residuo in questo caso è proprio $lim_{z->z_0) (z-z_0)f(z)$), mentre il lemma del P.C. può essere applicato anche nel caso di zeri di ordine superiore... ma perchè si prende in considerazione anche il Residuo all'infinito?
Nel caso di una semicirconferenza di centro $z_0$ sull'asse reale (come quelle di sopra), e di una funzione $f(z)$ con un polo semplice in $z_0$, il risultato $lim_{epsilon->0}int_{Gamma_epsilon}f(z)dz = jpiRes(z_0)$ si può verificare con il LdP.C. (praticamente è la dimostrazione della formula di prima)..
Siccome $f(z)$ ha un polo semplice in $z_0$ lo sviluppo di Laurent intorno a $z_0$ ha la forma:
$f(z) = (c_(-1))/(z-z_0) + sum_{k=0}^(+oo) c_k (z-z_0)^k = (c_(-1))/(z-z_0) + g(z)$, con $g(z)$ analitica in $z_0$.
L'integrale si calcola:
$int_{Gamma_epsilon}f(z)dz = c_(-1)int_{Gamma_epsilon}dz/(z-z_0) + int_{Gamma_epsilon}g(z)dz$,
il primo integrale al secondo membro vale $jpi$ per ogni $epsilon$, il secondo è nullo per il LdPC, quindi:
$int_{Gamma_epsilon}f(z)dz = jpic_(-1) = jpiRes(z_0) = jpi lim_{z->z_0}(z-z_0)f(z)$.
Questo risultato si può applicare nel caso di poli "multipli"? Se la funzione $f(z)$ ha un polo multiplo in $z_0$ il suo sviluppo di Laurent è:
$f(z) = sum_{k=-N}^{-2} (c_k)/(z-z_0)^k + (c_(-1))/(z-z_0) + sum_{k=0}^{+oo} c_k (z-z_0)^k$
Le ultime due parti dello sviluppo si comportano come nel caso precedente (giusto?), quindi il loro contributo è $jpiRes(z_0)$.. La prima parte è una somma finita di termini, per ognuno dei quali l'integrale è:
$I = int_{Gamma_epsilon}(z-z_0)^(-k)dz$,
posto $z-z_0 = epsilon e^(jtheta)$, $dz = jepsilon e^(jtheta) d theta$, usando $k$ al posto di $-k$,
$I = int_0^pi epsilon^k e^(jktheta)* jepsilon e^(jtheta)d theta =$
$ = jepsilon^{k+1} int_0^pi e^(j(k+1)theta) d theta =$
$ = jepsilon^(k+1) [1/(j(k+1)) e^(j(k+1)theta)]_0^pi = $
$ = (epsilon^(k+1))/(k+1) {e^(j(k+1)pi) - 1} =
$ = (epsilon^(k+1))/(k+1) {(-1)^(k+1) -1}$
E il $lim_{epsilon->0}$ è ancora 0...
Qual è la falla nel ragionamento?
Nel caso di una semicirconferenza di centro $z_0$ sull'asse reale (come quelle di sopra), e di una funzione $f(z)$ con un polo semplice in $z_0$, il risultato $lim_{epsilon->0}int_{Gamma_epsilon}f(z)dz = jpiRes(z_0)$ si può verificare con il LdP.C. (praticamente è la dimostrazione della formula di prima)..
Siccome $f(z)$ ha un polo semplice in $z_0$ lo sviluppo di Laurent intorno a $z_0$ ha la forma:
$f(z) = (c_(-1))/(z-z_0) + sum_{k=0}^(+oo) c_k (z-z_0)^k = (c_(-1))/(z-z_0) + g(z)$, con $g(z)$ analitica in $z_0$.
L'integrale si calcola:
$int_{Gamma_epsilon}f(z)dz = c_(-1)int_{Gamma_epsilon}dz/(z-z_0) + int_{Gamma_epsilon}g(z)dz$,
il primo integrale al secondo membro vale $jpi$ per ogni $epsilon$, il secondo è nullo per il LdPC, quindi:
$int_{Gamma_epsilon}f(z)dz = jpic_(-1) = jpiRes(z_0) = jpi lim_{z->z_0}(z-z_0)f(z)$.
Questo risultato si può applicare nel caso di poli "multipli"? Se la funzione $f(z)$ ha un polo multiplo in $z_0$ il suo sviluppo di Laurent è:
$f(z) = sum_{k=-N}^{-2} (c_k)/(z-z_0)^k + (c_(-1))/(z-z_0) + sum_{k=0}^{+oo} c_k (z-z_0)^k$
Le ultime due parti dello sviluppo si comportano come nel caso precedente (giusto?), quindi il loro contributo è $jpiRes(z_0)$.. La prima parte è una somma finita di termini, per ognuno dei quali l'integrale è:
$I = int_{Gamma_epsilon}(z-z_0)^(-k)dz$,
posto $z-z_0 = epsilon e^(jtheta)$, $dz = jepsilon e^(jtheta) d theta$, usando $k$ al posto di $-k$,
$I = int_0^pi epsilon^k e^(jktheta)* jepsilon e^(jtheta)d theta =$
$ = jepsilon^{k+1} int_0^pi e^(j(k+1)theta) d theta =$
$ = jepsilon^(k+1) [1/(j(k+1)) e^(j(k+1)theta)]_0^pi = $
$ = (epsilon^(k+1))/(k+1) {e^(j(k+1)pi) - 1} =
$ = (epsilon^(k+1))/(k+1) {(-1)^(k+1) -1}$
E il $lim_{epsilon->0}$ è ancora 0...
Qual è la falla nel ragionamento?
Innanzi tutto il lim non fa 0 ma diverge... consideriamo $f(z)$ con un polo di ordine $N$ in $z_0$, $f(z)$ può essere scritta nella forma
$f(z)=g(z)/(z-z_0)^N$, con $g(z)$ analitica in $z_0$... il limite considerato nel LdPC $l = lim_{z->z_0}(z-z_0)f(z) = lim_{z-z_0} g(z)/(z-z_0)^(N-1)$ sembra divergere (basta il ragionamento intuitivo per dimostrare questo? d'altra parte una funzione analitica in $z_0$ dovrebbe convergere a un limite finito), quindi ritorna lo stesso risultato... vuol dire che una funzione con poli multipli non può essere integrata in questi casi (quella di sopra potrebbe ardire al nome di dimostrazione rigorosa...)??
$f(z)=g(z)/(z-z_0)^N$, con $g(z)$ analitica in $z_0$... il limite considerato nel LdPC $l = lim_{z->z_0}(z-z_0)f(z) = lim_{z-z_0} g(z)/(z-z_0)^(N-1)$ sembra divergere (basta il ragionamento intuitivo per dimostrare questo? d'altra parte una funzione analitica in $z_0$ dovrebbe convergere a un limite finito), quindi ritorna lo stesso risultato... vuol dire che una funzione con poli multipli non può essere integrata in questi casi (quella di sopra potrebbe ardire al nome di dimostrazione rigorosa...)??
Non è detto che una funzione con poli reali multipli non si possa integrare nel senso del valor principale su $RR$, vedi ad esempio $1/(x^3)$ per cui risulta $v.p. int_(-oo)^(+oo) 1/(x^3) dx=0$. Solo che in presenza di poli reali multipli il lemma del piccolo cerchio non vale e ciò può essere verificato sfruttando una proprietà degli integrali.
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