Lemma?

[kaspar1]

Ciao! Mi sto vedendo i polinomi di Taylor, sto cercando di mettere un po' d'ordine a ciò che è stato fatto a lezione e le dimostrazioni. In particolare questa affermazione mi sembra vera e vorrei chiedere un parere a voi.

Siano \(p, q \colon \mathbb R \to \mathbb R\) due polinomi di grado \(\le n\). Se \[p(x) = q(x) + o(x^n) \quad\text{per } x \to 0\] allora i due polinomi sono uguali.

Sia \[
\lim_{x \to 0} \frac{p(x)-q(x)}{x^n} = 0
\] Ora, se fosse che \(p \ne q\), allora esisterebbero \(\alpha_0, \dots, \alpha_m \in \mathbb R\) e numeri naturali diversi tra loro \(k_0, \dots, k_m \le n\), con \(m \le n\) tali che \[
p(x) - q(x) = \sum_{i = 0}^m \alpha_ix^{k_i}.
\]
Allora avrei \[
\lim_{x \to 0} \frac{p(x)-q(x)}{x^n} = \lim_{x \to 0} \sum_{i = 0}^m \alpha_i x^{k_i-n}.
\] È sempre \(k_i \le n\) e quindi il limite in esame può divergere oppure, alla peggio, non essere definito: comunque sicuramente non \(0\) . E qui arrivo all'assurdo.

Può andare?

[Studente Anonimo]

Sì.