Leibniz

[VALE014]

salve ho questa serie con leibniz, ho dei dubbi nel calcolarla. $ sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^(n+1)(x-2)^n/[(n+1)In(n+1)] $
ho scelto Leibniz perchè è una serie a segni alterni; il 1° dubbio è sul limite, ovvero il limite da calcolare è questo: $ lim_(n -> oo) 1/[(n+1)In(n+1)] $ ?? 2° dubbio nel momento in cui devo applicare la formula il $(-1)^(n+1)$
va considerato?? ovvero lo applico così: $ lim_(n -> oo) [(x-2)(x-2)^n]/[(n+1)In(n+1)]<(x-2)^n/[(n+1)In(n+1)] $.ultimo dubbio una volta arrivata a questo punto come faccio a capire se $a_n+1 grazie in anticipo

[matteoorlandini]

Hai una serie di potenze quindi devi prima trovarti il raggio di convergenza con il criterio del rapporto o della radice. Successivamente vedi cosa succede agli estremi del raggio di convergenza.
In questa serie è opportuno usare il criterio del rapporto, troverai $|x-2|<1->1 Essendo una serie a segni alterni potrebbe essere opportuno usare il criterio di Leibniz se le ipotesi sono soddisfatte.

"VALE0":...il 1° dubbio è sul limite, ovvero il limite da calcolare è questo: $ lim_(n -> oo) 1/[(n+1)In(n+1)] $ ??

Sì, entrambe le serie.

2° dubbio nel momento in cui devo applicare la formula il $ (-1)^(n+1) $
va considerato?? ovvero lo applico così: $ lim_(n -> oo) [(x-2)(x-2)^n]/[(n+1)In(n+1)]<(x-2)^n/[(n+1)In(n+1)] $.

Devi verificare che la successione $a_n=1/[(n+1)In(n+1)]$ è infinitesima per $n->oo$, cioè $lim_(n->oo)a_n=0$.
(Questo punto lo hai però già verificato al punto precedente)

ultimo dubbio una volta arrivata a questo punto come faccio a capire se $ a_n+1 grazie in anticipo

In realtà è $a_(n+1)

Cita

Segnala

[VALE014]

quindi devo trovare prima il raggio?? non posso applicare direttamente leibniz? grazie

[Weierstress]

Vedendola come serie di potenze (che sembra la cosa più conveniente), prima trovi il raggio di convergenza e poi controlli il comportamento agli estremi, in questo caso usando Leibniz. E' la strada più facile

[simki]

Ciao, stavo svolgendo anche io qualche esercizio sul Criterio di Leibniz, e per risolvere questa serie ho ragionato così:
$ sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^(n)(n+logn)/(n^2) $
Dato che il termine generale è asintotico alla serie armonica e quindi la serie è asintotica alla serie armonica a segni alterni (la quale convege), la serie converge.
È corretto come ragionamento e procedimento?

Ho inoltre il seguente dubbio: se, quando vado ad applicare il Criterio di Leibniz, scopro che la serie rispetta la prima ipotesi ($a_n -> 0$), ma non rispetta la seconda (il ter.gen. non è una successione monotona non crescente), questo significa che la serie non converge? O, se una delle due ipotesi non è soddisfatta non posso concludere nulla?
Grazie

[pilloeffe]

Ciao simki,

"simki":È corretto come ragionamento e procedimento?

No, la serie deve essere a termini positivi.
D'altronde la serie assoluta è divergente, infatti si ha:

$ sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^(n)|(n+ln n)/(n^2) = sum_{n=1}^{+\infty} (n+ln n)/(n^2) = sum_{n=1}^{+\infty} (n(1 +ln n/n))/(n^2) > sum_{n=1}^{+\infty} 1/n $

e l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente.

"simki":non rispetta la seconda (il ter.gen. non è una successione monotona non crescente)

Non è comunque questo il caso in esame, infatti la disuguaglianza

$a_{n + 1} = (n+1 + ln(n + 1))/((n + 1)^2) < (n + ln n)/(n^2) = a_n $

è vera $\AA n \ge 1 $
La serie proposta infatti è convergente, potendosi dimostrare che si ha:

$ sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n)(n+ln n)/(n^2) = frac{\zeta'(2)}{2} + frac{\pi^2}{12} ln 2 - ln 2 = frac{\zeta'(2)}{2} + (frac{\pi^2}{12} - 1)ln 2 ~= - 0,5918306 $

ove $\zeta(z) := sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^z $, $Re[z] > 1 $ è la funzione zeta di Riemann, $\zeta'(z) := - sum_{n = 1}^{+\infty} ln n/n^z $ e $\zeta'(2) $ si può esprimere in forma chiusa:

$ \zeta'(2) = - sum_{n = 1}^{+\infty} ln n/n^2 = \pi^2/6 [\gamma + ln(2\pi) - 12 ln A] ~= - 0,9375482$

ove $\gamma $ è la costante di Eulero-Mascheroni e $A $ è la costante di Glaisher-Kinkelin.

"simki":se una delle due ipotesi non è soddisfatta non posso concludere nulla?

Puoi concludere che la serie proposta non converge, ma la serie può risultare divergente positivamente, negativamente o anche indeterminata. Dai un'occhiata anche a questo thread, in particolare alle osservazioni di ciampax e gugo82.

[Ernesto011]

"pilloeffe":
[quote="simki"]se una delle due ipotesi non è soddisfatta non posso concludere nulla?

Puoi concludere che la serie proposta non converge, ma la serie può risultare divergente positivamente, negativamente o anche indeterminata. Dai un'occhiata anche a questo thread, in particolare alle osservazioni di ciampax e gugo82.[/quote]
Secondo me ci sarebbe un piccolo accorgimento da fare per non confondere l'utente. Dipende da cosa intendi per seconda condizione:
* la successione è decrescente
** la successione é definitivamente decrescente.

Se la ** è falsa, allora sicuramente non converge
Se la * è falsa, potrebbe ancora essere vera la **. Quindi non puoi dire niente
Edit: non sono neanche tanto convinto che se non vale la ** allora sicuramente non converge, credo che si possa trovare un esempio in cui questa condizione non vale e comunque converge

[pilloeffe]

Ciao Ernesto01,

Ti ringrazio per la precisazione, in effetti ho detto una cosa inesatta.
In realtà se è verificata la prima ipotesi, cioè la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $ lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ e non la seconda (qualsiasi essa sia) nulla può dirsi a priori sul comportamento della serie perché in tal caso il criterio di Leibniz perde di efficacia: in tali casi occorre applicare altre tecniche, come ad esempio il criterio della convergenza assoluta od una qualsiasi altra tecnica appositamente costruita. Devo dire però, ad onor del vero, che nella mia lunga "carriera" con le serie non ho mai incontrato una serie siffatta che non sia studiabile col criterio della convergenza assoluta (che tipicamente è il primo che applico... ), ma non posso escludere che esista: come si dice, mai dire mai...

[simki]

Va bene, grazie ad entrambi