Leibneiz formula: derivazione integrale multiplo
Salve a tutti,
ho provato a cercare online e su vari libri ma non sono riuscito a trovare cio' che realmente cercavo. Devo calcolare la derivata di un integrale doppio i cui estremi dipendono dalla variable di derivazione. In particolare
$\frac{d}{dt}(\int_{a(t)}^{b(t)} \int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) dx dy)$
dove la funzione integranda non dipende da $t$ (solo gli estremi di integrazione dipendo da $t$).
Applicando la formula di Leibniz per la derivata dell'integrale, sarei riuscito ad ottenere il risultato
$\frac{d}{dt}(\int_{a(t)}^{b(t)} \int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) dx dy)=\int_{a(t)}^{b(t)}[\int_{c(t)}^{d(t)} \frac{\partial f}{\partial t}dx +f(d(t),y)d'(t)-f(c(t),y)c'(t)]dy+[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,b(t)) dx] b'(t)-[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,a(t)) dx] a'(t)$
Tuttavia poiche' $\frac{\partial f}{\partial t}=0$, dovrebbe semplificarsi in
$\frac{d}{dt}(\int_{a(t)}^{b(t)} \int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) dx dy)=\int_{a(t)}^{b(t)}[ f(d(t),y)d'(t)-f(c(t),y)c'(t)]dy+[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,b(t)) dx] b'(t)-[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,a(t)) dx] a'(t)$.
E' corretto?
Inoltre, se $\lim_{x->-\infty} f(x,y) = 0$ e $\lim_{y->-\infty} f(x,y) = 0$,
$\frac{d}{dt}(\int_{-\infty}^{b(t)} \int_{-\infty}^{d(t)} f(x,y) dx dy) = [\int_{-\infty}^{b(t)}f(d(t),y)dy]d'(t) +[\int_{-\infty}^{d(t)} f(x,b(t)) dx] b'(t)$
e' corretta?
Grazie per l'eventuale aiuto
ho provato a cercare online e su vari libri ma non sono riuscito a trovare cio' che realmente cercavo. Devo calcolare la derivata di un integrale doppio i cui estremi dipendono dalla variable di derivazione. In particolare
$\frac{d}{dt}(\int_{a(t)}^{b(t)} \int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) dx dy)$
dove la funzione integranda non dipende da $t$ (solo gli estremi di integrazione dipendo da $t$).
Applicando la formula di Leibniz per la derivata dell'integrale, sarei riuscito ad ottenere il risultato
$\frac{d}{dt}(\int_{a(t)}^{b(t)} \int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) dx dy)=\int_{a(t)}^{b(t)}[\int_{c(t)}^{d(t)} \frac{\partial f}{\partial t}dx +f(d(t),y)d'(t)-f(c(t),y)c'(t)]dy+[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,b(t)) dx] b'(t)-[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,a(t)) dx] a'(t)$
Tuttavia poiche' $\frac{\partial f}{\partial t}=0$, dovrebbe semplificarsi in
$\frac{d}{dt}(\int_{a(t)}^{b(t)} \int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) dx dy)=\int_{a(t)}^{b(t)}[ f(d(t),y)d'(t)-f(c(t),y)c'(t)]dy+[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,b(t)) dx] b'(t)-[\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,a(t)) dx] a'(t)$.
E' corretto?
Inoltre, se $\lim_{x->-\infty} f(x,y) = 0$ e $\lim_{y->-\infty} f(x,y) = 0$,
$\frac{d}{dt}(\int_{-\infty}^{b(t)} \int_{-\infty}^{d(t)} f(x,y) dx dy) = [\int_{-\infty}^{b(t)}f(d(t),y)dy]d'(t) +[\int_{-\infty}^{d(t)} f(x,b(t)) dx] b'(t)$
e' corretta?
Grazie per l'eventuale aiuto
Risposte
Non ho controllato i tuoi calcoli, ma credo tu debba usare questa: \[\begin{split} \frac{\partial}{\partial t} \int_{a(t)}^{b(t)} \underbrace{\int_{c(t)}^{d(t)} f(x,y) \, dx}_{=F(y,t)} \, dy & = \frac{\partial }{\partial t} \int_{a(t)}^{b(t)} F(y,t) \, dy \\ & = \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial}{\partial t} F(y,t) \, dy + F(b(t),t)\cdot b'(t) - F(a(t),t) \cdot a'(t) \end{split} \]etc...
Grazie! E' quello che ho fatto... quindi dovrebbe essere giusto (spero)
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