Legge di trasformazione delle velocità relativistiche
Salve, vorrei chiedervi una mano per questo conto, probabilmente banale.
Supponiamo che $\gamma,\beta,w,c$ siano costanti reali positive e consideriamo la seguente trasformazione invertibile $(x',t')\mapsto (x,t)$:
\[
\begin{cases}x=\gamma(x'+w t')\\
t=\gamma(t'+\frac{\beta}{c}x')\end{cases}
\]
Voglio provare che:
\[
\frac{d x}{d t}=\dfrac{\frac{dx'}{dt'}+w}{1+\frac{\beta}{c}\frac{dx'}{dt'}}
\]
Qualsiasi libro di fisica che consulto procede facendo il rapporto tra $dx$ e $dt$ e manipolando i differenziali come fosse numeri reali. Come si potrebbe fare questo conto formalmente?
Grazie in anticipo.
Supponiamo che $\gamma,\beta,w,c$ siano costanti reali positive e consideriamo la seguente trasformazione invertibile $(x',t')\mapsto (x,t)$:
\[
\begin{cases}x=\gamma(x'+w t')\\
t=\gamma(t'+\frac{\beta}{c}x')\end{cases}
\]
Voglio provare che:
\[
\frac{d x}{d t}=\dfrac{\frac{dx'}{dt'}+w}{1+\frac{\beta}{c}\frac{dx'}{dt'}}
\]
Qualsiasi libro di fisica che consulto procede facendo il rapporto tra $dx$ e $dt$ e manipolando i differenziali come fosse numeri reali. Come si potrebbe fare questo conto formalmente?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Cantor99,
Non so se può andarti bene come risposta, ma potresti lavorare con le differenze e poi far tendere $\Delta t \to 0 $ e $\Delta t' \to 0 $:
[tex]\begin{cases}
x=\gamma(x'+w t')\\
t=\gamma(t'+\frac{\beta}{c}x')
\end{cases}[/tex]
Applicando questa a due coppie di coordinate spaziali, diciamo $x_1 $, $x_0 $, $x_1^{\prime} $, $x_0^{\prime} $, e a due coppie di coordinate temporali, diciamo $t_1 $, $t_0 $, $t_1^{\prime} $, $t_0^{\prime} $, si ha:
[tex]\begin{cases}
\Delta x=\gamma(\Delta x'+w \Delta t')\\
\Delta t=\gamma(\Delta t'+\frac{\beta}{c} \Delta x')
\end{cases}[/tex]
ove $ \Delta x := x_1 - x_0 $, $ \Delta x^{\prime} := x_1^{\prime} - x_0^{\prime} $, $ \Delta t := t_1 - t_0 $, $ \Delta t^{\prime} := t_1^{\prime} - t_0^{\prime} $
Facendo il rapporto $\gamma $ scompare e si ha:
$ (\Delta x)/(\Delta t) = (\Delta x'+w \Delta t')/(\Delta t'+\frac{\beta}{c} \Delta x') = ((\Delta x')/(\Delta t')+w)/(1 + \frac{\beta}{c} (\Delta x')/(\Delta t')) $
Passando al limite si ha proprio l'asserto:
$\frac{"d" x}{"d" t}= \frac{\frac{"d"x'}{"d"t'}+w}{1+\frac{\beta}{c}\frac{"d"x'}{"d" t'}}$
"Cantor99":
Come si potrebbe fare questo conto formalmente?
Non so se può andarti bene come risposta, ma potresti lavorare con le differenze e poi far tendere $\Delta t \to 0 $ e $\Delta t' \to 0 $:
[tex]\begin{cases}
x=\gamma(x'+w t')\\
t=\gamma(t'+\frac{\beta}{c}x')
\end{cases}[/tex]
Applicando questa a due coppie di coordinate spaziali, diciamo $x_1 $, $x_0 $, $x_1^{\prime} $, $x_0^{\prime} $, e a due coppie di coordinate temporali, diciamo $t_1 $, $t_0 $, $t_1^{\prime} $, $t_0^{\prime} $, si ha:
[tex]\begin{cases}
\Delta x=\gamma(\Delta x'+w \Delta t')\\
\Delta t=\gamma(\Delta t'+\frac{\beta}{c} \Delta x')
\end{cases}[/tex]
ove $ \Delta x := x_1 - x_0 $, $ \Delta x^{\prime} := x_1^{\prime} - x_0^{\prime} $, $ \Delta t := t_1 - t_0 $, $ \Delta t^{\prime} := t_1^{\prime} - t_0^{\prime} $
Facendo il rapporto $\gamma $ scompare e si ha:
$ (\Delta x)/(\Delta t) = (\Delta x'+w \Delta t')/(\Delta t'+\frac{\beta}{c} \Delta x') = ((\Delta x')/(\Delta t')+w)/(1 + \frac{\beta}{c} (\Delta x')/(\Delta t')) $
Passando al limite si ha proprio l'asserto:
$\frac{"d" x}{"d" t}= \frac{\frac{"d"x'}{"d"t'}+w}{1+\frac{\beta}{c}\frac{"d"x'}{"d" t'}}$
Il procedimento proposto da pilloeffe è esattamente lo stesso che "manipolando i differenziali come fosse numeri reali", e di fatti non è giustificato il passaggio al limite con tutta questa leggerezza.
Se vuoi calcolare la derivata di \(x\) rispetto a \(t\), devi prima scrivere \(x = x(t)\). Poi fai una derivata normale.
"Cantor99":
Come si potrebbe fare questo conto formalmente?
Se vuoi calcolare la derivata di \(x\) rispetto a \(t\), devi prima scrivere \(x = x(t)\). Poi fai una derivata normale.
Grazie per le risposte.
In effetti è proprio quello il problema che incontro, scrivere $x$ in funzione di $t$!
In effetti è proprio quello il problema che incontro, scrivere $x$ in funzione di $t$!
"Cantor99":
[...] scrivere $x$ in funzione di $t$!
Decisamente sconsigliabile...
Piuttosto in alternativa considererei che le trasformazioni di Lorentz
[tex]\begin{cases}
x' =\gamma(x-w t)\\
t' =\gamma(t - \frac{\beta}{c}x)
\end{cases}[/tex]
sono invertibili e si ottengono proprio quelle che hai scritto:
[tex]\begin{cases}
x=\gamma(x'+w t')\\
t=\gamma(t'+\frac{\beta}{c}x')
\end{cases}[/tex]
Derivando la prima rispetto a $t^{\prime}$ si ha:
$("d"x)/("d"t^{\prime}) = \gamma (("d"x^{\prime})/("d"t^{\prime}) + w("d"t^{\prime})/("d"t^{\prime})) = \gamma(("d"x^{\prime})/("d"t^{\prime}) + w) $
cioè per la chain rule
$("d"x)/("d"t) \cdot ("d"t)/("d"t^{\prime}) = \gamma(("d"x')/("d"t') + w) $
Derivando rispetto a $t^{\prime}$ la seconda che hai scritto si ottiene $("d"t)/("d"t^{\prime}) = \gamma(1 + \frac{\beta}{c} ("d"x')/("d"t')) $, per cui si ha:
$("d"x)/("d"t) \cdot \gamma(1 + \frac{\beta}{c} ("d"x')/("d"t')) = \gamma(("d"x')/("d"t') + w) $
Pertanto è vero che si ha:
$("d"x)/("d"t) = \frac{("d"x')/("d"t') + w}{1 + \frac{\beta}{c} ("d"x')/("d"t')} $
come volevi dimostrare.
Grazie pilloeffe!
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