Legge di cancellazione per il prodotto
Come è estremamente noto, se $x!=0$, $x*y=x*z$ se e solo se $y=z$, con $x,y,z in RR$.
Mi è venuto un dubbio sulla dimostrazione di questa proposizione. Probabilmente sarà molto banale, però vorrei abituarmi a studiare con il massimo rigore possibile. Per dimostrare questa implicazione, <=, nel mio libro si dice "da $y=z$ segue chiaramente che $x*y=x*z$. In realtà, questa implicazione mi sembra che non derivi né dagli assiomi dei numeri reali, né da altre proprietà dimostrate in precedenza, quindi mi chiedo se sia davvero lecita.
Per l'analoga legge di cancellazione della somma capisco che $y=z$ è equivalente a $x+y=x+z$, perché c'è l'assioma ordine addizione che dice che, se $x<=y$, allora $x+z<=y+z$.
Come unico assioma di "ordine-prodotto" invece ho il seguente: se $x>=0$ e $y>=0$, allora $x*y>=0$, che non c'entra nulla con l'implicazione della dimostrazione.
Mi è venuto un dubbio sulla dimostrazione di questa proposizione. Probabilmente sarà molto banale, però vorrei abituarmi a studiare con il massimo rigore possibile. Per dimostrare questa implicazione, <=, nel mio libro si dice "da $y=z$ segue chiaramente che $x*y=x*z$. In realtà, questa implicazione mi sembra che non derivi né dagli assiomi dei numeri reali, né da altre proprietà dimostrate in precedenza, quindi mi chiedo se sia davvero lecita.
Per l'analoga legge di cancellazione della somma capisco che $y=z$ è equivalente a $x+y=x+z$, perché c'è l'assioma ordine addizione che dice che, se $x<=y$, allora $x+z<=y+z$.
Come unico assioma di "ordine-prodotto" invece ho il seguente: se $x>=0$ e $y>=0$, allora $x*y>=0$, che non c'entra nulla con l'implicazione della dimostrazione.
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