Legge di cancellazione per il prodotto
Come è estremamente noto, se $x!=0$, $x*y=x*z$ se e solo se $y=z$, con $x,y,z in RR$.
Mi è venuto un dubbio sulla dimostrazione di questa proposizione. Probabilmente sarà molto banale, però vorrei abituarmi a studiare con il massimo rigore possibile. Per dimostrare questa implicazione, <=, nel mio libro si dice "da $y=z$ segue chiaramente che $x*y=x*z$. In realtà, questa implicazione mi sembra che non derivi né dagli assiomi dei numeri reali, né da altre proprietà dimostrate in precedenza, quindi mi chiedo se sia davvero lecita.
Per l'analoga legge di cancellazione della somma capisco che $y=z$ è equivalente a $x+y=x+z$, perché c'è l'assioma ordine addizione che dice che, se $x<=y$, allora $x+z<=y+z$.
Come unico assioma di "ordine-prodotto" invece ho il seguente: se $x>=0$ e $y>=0$, allora $x*y>=0$, che non c'entra nulla con l'implicazione della dimostrazione.
Mi è venuto un dubbio sulla dimostrazione di questa proposizione. Probabilmente sarà molto banale, però vorrei abituarmi a studiare con il massimo rigore possibile. Per dimostrare questa implicazione, <=, nel mio libro si dice "da $y=z$ segue chiaramente che $x*y=x*z$. In realtà, questa implicazione mi sembra che non derivi né dagli assiomi dei numeri reali, né da altre proprietà dimostrate in precedenza, quindi mi chiedo se sia davvero lecita.
Per l'analoga legge di cancellazione della somma capisco che $y=z$ è equivalente a $x+y=x+z$, perché c'è l'assioma ordine addizione che dice che, se $x<=y$, allora $x+z<=y+z$.
Come unico assioma di "ordine-prodotto" invece ho il seguente: se $x>=0$ e $y>=0$, allora $x*y>=0$, che non c'entra nulla con l'implicazione della dimostrazione.
Risposte
"HowardRoark":
Per dimostrare questa implicazione, <=, nel mio libro si dice "da $y=z$ segue chiaramente che $x\cdot y=x \cdot z$.
Beh, è uno dei princìpi di equivalenza: se si moltiplicano o si dividono ambo i membri di un'uguaglianza per un numero $x \ne 0 $ si ottiene un'altra uguaglianza vera.
Esempio coi numeri banalissimo:
$6 = 7 - 1$
Se si moltiplicano ambo i membri per $x = 5 \ne 0 $ si ha:
$5 \cdot 6 = 5 \cdot (7 - 1) $
$30 = 35 - 5 = 30 $
che è senz'altro vera.
Però nel mio libro non si parla di principi di equivalenza, ma si vogliono dimostrare tutte queste proprietà elementari partendo dai 16 assiomi dei numeri reali. Anche perché $y=z => x*y=x*z$ è vera anche se $x$ fosse $0$.
Questo riguarda la definizione di uguaglianza in matematica e le sue proprietà. Se due cose sono uguali, la stessa azione su di esse produrrà lo stesso risultato.
Qual è la tua definizione di uguaglianza?
Vedi qui.
Qual è la tua definizione di uguaglianza?
Vedi qui.
Beh forse questo era davvero un dubbio molto banale. Per ipotesi $y=z$.
Valuto chi è $x*y$: $x*y=x*z$, dove ho semplicemente applicato l'ipotesi. Mi sembra chiaro anche perché questa valga per ogni $x$ (quindi anche per $x=0$): non è necessario da nessuna parte che sia $x!=0$.
Valuto chi è $x*y$: $x*y=x*z$, dove ho semplicemente applicato l'ipotesi. Mi sembra chiaro anche perché questa valga per ogni $x$ (quindi anche per $x=0$): non è necessario da nessuna parte che sia $x!=0$.
"Martino":
Se due cose sono uguali, la stessa azione su di esse produrrà lo stesso risultato.
Questa cosa mi ha sempre un po' confuso. Ad esempio $x=y$ se e solo se $logx=logy$, $AA x,y>0$: questa proposizione so che è vera per l'iniettività del logaritmo, però già $x=y <=> x^2=y^2, AA x,y in RR$ è falsa.
Sono sicuro si possano fare esempi più interessanti che ora non mi vengono in mente.
Ma io ho detto un'altra cosa. Non ho detto che se fai una stessa azione su due cose e ti viene lo stesso risultato allora quelle due cose sono uguali.
Ho detto che se due cose sono uguali, se fai la stessa azione su di esse ottieni la stessa cosa.
Ho detto che se due cose sono uguali, se fai la stessa azione su di esse ottieni la stessa cosa.
"Martino":
Ma io ho detto un'altra cosa. Non ho detto che se fai una stessa azione su due cose e ti viene lo stesso risultato allora quelle due cose sono uguali.
E quindi è falso che $x^2=y^2 => x= y$.
"Martino":
Ho detto che se due cose sono uguali, se fai la stessa azione su di esse ottieni la stessa cosa.
Quindi è vero che $x=y => x^2=y^2$.
Spero di aver capito.
Esatto. In simboli, se $f$ è una funzione nel cui dominio stanno $x,y$, considera le affermazioni
(1) $x=y => f(x)=f(y)$
(2) $f(x)=f(y) => x=y$
(3) $x=y <=> f(x)=f(y)$
Allora (1) è vera ma (2) è falsa in generale (cioè in generale non vale per ogni $x,y,f$). Inoltre, siccome (2) è falsa, anche (3) è falsa.
Naturalmente puoi pensare a $f$ come a qualsiasi azione (tipo moltiplicare per un certo elemento $z$, sommare $z$ ecc.)
(1) $x=y => f(x)=f(y)$
(2) $f(x)=f(y) => x=y$
(3) $x=y <=> f(x)=f(y)$
Allora (1) è vera ma (2) è falsa in generale (cioè in generale non vale per ogni $x,y,f$). Inoltre, siccome (2) è falsa, anche (3) è falsa.
Naturalmente puoi pensare a $f$ come a qualsiasi azione (tipo moltiplicare per un certo elemento $z$, sommare $z$ ecc.)
"HowardRoark":
[quote="Martino"]Ma io ho detto un'altra cosa. Non ho detto che se fai una stessa azione su due cose e ti viene lo stesso risultato allora quelle due cose sono uguali.
E quindi è falso che $x^2=y^2 => x= y$.[/quote]
Ovvio, perché c'è un'infinità di controesempi (e.g., $x=1$, $y=-1$).
"HowardRoark":
[quote="Martino"]
Ho detto che se due cose sono uguali, se fai la stessa azione su di esse ottieni la stessa cosa.
Quindi è vero che $x=y => x^2=y^2$.[/quote]
Ovvio... E questo è il significato "relazionale" dell'uguaglianza[nota]In contrasto al significato "operazionale" dell'uguaglianza, in cui $=$ è letto come "il risultato dell'operazione sulla sinistra è la quantità sulla destra", come in $2+3=5$.[/nota], che si può riassumere così: se $x=y$, in qualsiasi espressione/formula contenente $x$ si può sostituire $y$ (e viceversa) senza alterarne il valore/la validità.
Dipende sempre tutto dal contesto di riferimento... dove ci si colloca e quale notazione/nomenclatura si assume.
Lo scrivo giusto come curiosità qui, ma mi è capitato di risolvere una "banale" equazione di quinto grado che in un contesto matematico diverso ammette ben $15$ soluzioni distinte (e già la sua versione quadratica ne sottende $4$)... questo accade proprio perché dove mi sono collocato per risolvere quell'equazione non vige più la legge di annullamento del prodotto (e infatti le soluzioni possibili aumentano "sforando" il classico tetto posto dal teorema fondamentale dell'algebra al numero delle radici complesse di un polinomio di grado $n$ e nel caso del mio esempio ne otteniamo addirittura $3 \cdot n$ per $n=5$ proprio perché non ci troviamo più in $\mathbb{C}$).
Lo scrivo giusto come curiosità qui, ma mi è capitato di risolvere una "banale" equazione di quinto grado che in un contesto matematico diverso ammette ben $15$ soluzioni distinte (e già la sua versione quadratica ne sottende $4$)... questo accade proprio perché dove mi sono collocato per risolvere quell'equazione non vige più la legge di annullamento del prodotto (e infatti le soluzioni possibili aumentano "sforando" il classico tetto posto dal teorema fondamentale dell'algebra al numero delle radici complesse di un polinomio di grado $n$ e nel caso del mio esempio ne otteniamo addirittura $3 \cdot n$ per $n=5$ proprio perché non ci troviamo più in $\mathbb{C}$).
Il contesto è $RR$, ma il significato di $=$ è un po' più generale.
Quindi fatico a comprendere il nesso del tuo post con questo thread.
Quindi fatico a comprendere il nesso del tuo post con questo thread.
"gugo82":
Il contesto è $RR$, ma il significato di $=$ è un po' più generale.
Quindi fatico a comprendere il nesso del tuo post con questo thread.
Hai ragione, forse ho divagato un po' troppo. Avevo letto che la discussione si stava spostando più sul significato generale delle notazioni e in particolare del simbolo di uguaglianza e ho dunque pensato di aggiungere questa curiosità per dire che pure la legge di annullamento del prodotto è aggirabile... solo che per farlo ho dovuto addirittura sforare il sistema $p$-adico, che comunque già estende i razionali non tramite $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, $\ldots$, ma in modo diverso e quindi sono andato proprio OT. Chiedo venia.
Tornando sull'idea di uguaglianza, citerei anche l'uso del simbolo $:=$ che può essere utilizzato come una sorta di assegnazione direzionata/definizione formale, dove per convenzione assumiamo che il simbolo a sinistra di $:=$ sia quello che ci semplifica la vita. A volte lo utilizzo anche per specificare da quali variabili dipende un'altra variabile che posso poi trattare in relazione a una scelta fissata di quella/e a monte... non so, magari può essere un altro spunto per continuare la discussione sull'uso dell'uguale.
"gugo82":
Quindi fatico a comprendere il nesso del tuo post con questo thread.
Concordo con gugo82.
"marcokrt":
Tornando sull'idea di uguaglianza, citerei anche l'uso del simbolo $:=$ che può essere utilizzato come una sorta di assegnazione direzionata/definizione formale, dove per convenzione assumiamo che il simbolo a sinistra di $:=$ sia quello che ci semplifica la vita.
Capisco che i matematici puri siano sempre un po' restii in tal senso, ma il simbolo $:= $ con quel significato è codificato già nella prima edizione del 2009-12-01 della normativa ISO 80000-2 - Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology, per la precisione Item No. 2-7.3 (11-5.3).
L'altro significato di assegnazione è addirittura di gran lunga precedente, essendo presente nel linguaggio di programmazione Pascal, creato nel 1970 da Niklaus Wirth e basato sul linguaggio ALGOL; il linguaggio di programmazione è stato denominato così in onore di Blaise Pascal che inventò nel 1645 la Pascalina, considerata la prima calcolatrice.
"HowardRoark":
Come è estremamente noto, se $x!=0$, $x*y=x*z$ se e solo se $y=z$, con $x,y,z in RR$.
Mi è venuto un dubbio sulla dimostrazione di questa proposizione. Probabilmente sarà molto banale, però vorrei abituarmi a studiare con il massimo rigore possibile. Per dimostrare questa implicazione, <=, nel mio libro si dice "da $y=z$ segue chiaramente che $x*y=x*z$. In realtà, questa implicazione mi sembra che non derivi né dagli assiomi dei numeri reali, né da altre proprietà dimostrate in precedenza, quindi mi chiedo se sia davvero lecita.
Il tuo dubbio è legittimo. Come dice Martino, l'implicazione da te considerata (<=) deriva direttamente dalla definizione di operazione binaria "moltiplicazione" del campo R. L'operazione è una funzione, è univoca: dato lo stesso argomento, ritorna lo stesso risultato.
Ti deve essere chiaro però che la "Legge di cancellazione per il prodotto" del titolo, si riferisce in realtà alla implicazione inversa (=>). Quella è l'implicazione interessante, dove "cancelli". Trattandosi di un gruppo (moltiplicativo, tolto lo zero), si dimostra subito anche quella: moltiplichi per il reciproco.
Infatti la legge di cancellazione è più interessante in strutture più deboli di un gruppo, per esempio un monoide.
Se come scrivi vuoi capire bene queste dimostrazioni, considera strutture più deboli, così capisci meglio cosa dipende da cosa.
Per es., nel monoide moltiplicativo delle matrici quadrate, non vale questa legge.
Per l'analoga legge di cancellazione della somma capisco che $y=z$ è equivalente a $x+y=x+z$, perché c'è l'assioma ordine addizione che dice che, se $x<=y$, allora $x+z<=y+z$.
No. Deduci solo la disuguaglianza.
Come sopra. Questa direzione è banale per def. di operazione binaria, l'altra direz. è perché è un gruppo (additivo): sommi l'opposto e hai finito.
Non dipende dalla relazione d'ordine.
"marcokrt":
mi è capitato di risolvere una "banale" equazione di quinto grado che in un contesto matematico diverso ammette ben $15$ soluzioni distinte (e già la sua versione quadratica ne sottende $4$)... questo accade proprio perché dove mi sono collocato per risolvere quell'equazione non vige più la legge di annullamento del prodotto (e infatti le soluzioni possibili aumentano "sforando" il classico tetto posto dal teorema fondamentale dell'algebra al numero delle radici complesse di un polinomio di grado $n$ e nel caso del mio esempio ne otteniamo addirittura $3 \cdot n$ per $n=5$ proprio perché non ci troviamo più in $\mathbb{C}$)
per dire che pure la legge di annullamento del prodotto è aggirabile... solo che per farlo ho dovuto addirittura sforare il sistema p-adico, che comunque già estende i razionali non tramite R, C, H,
Non è che più termini altisonanti a sproposito citi, più sembri competente. Sei riuscito a citare a sproposito quaternioni, numeri p-adici, teorema f. dell'algebra senza né aggiungere nulla né tangere minimamente il problema posto.
Se un principiante come l'OP ti legge, potrebbe pensare di essere LUI inadeguato. La matematica serve per semplificare e chiarire, non per name-droppare e confondere.
"FLovini":
[quote="marcokrt"]mi è capitato di risolvere una "banale" equazione di quinto grado che in un contesto matematico diverso ammette ben $15$ soluzioni distinte (e già la sua versione quadratica ne sottende $4$)... questo accade proprio perché dove mi sono collocato per risolvere quell'equazione non vige più la legge di annullamento del prodotto (e infatti le soluzioni possibili aumentano "sforando" il classico tetto posto dal teorema fondamentale dell'algebra al numero delle radici complesse di un polinomio di grado $n$ e nel caso del mio esempio ne otteniamo addirittura $3 \cdot n$ per $n=5$ proprio perché non ci troviamo più in $\mathbb{C}$)
per dire che pure la legge di annullamento del prodotto è aggirabile... solo che per farlo ho dovuto addirittura sforare il sistema p-adico, che comunque già estende i razionali non tramite R, C, H,
Non è che più termini altisonanti a sproposito citi, più sembri competente. Sei riuscito a citare a sproposito quaternioni, numeri p-adici, teorema f. dell'algebra senza né aggiungere nulla né tangere minimamente il problema posto.
Se un principiante come l'OP ti legge, potrebbe pensare di essere LUI inadeguato. La matematica serve per semplificare e chiarire, non per name-droppare e confondere.[/quote]
Mi chiedo se oltre a esserti iscritto per odiarmi pubblicamente e tentare di denigrarmi senza argomenti la tua presenza su questo forum (e su internet in generale) abbia altri scopi. Mi chiedo altresì perché tu non sia stato ancora bannato da questo forum dove si parla in matematica (se vuoi un dialogo pubblico con me non hai che da firmarti e sarò lieto di invitarti in live su YouTube dove potremo discutere dei miei risultati pubblicati - che tu ovviamente sei incapace anche solo di comprendere in minima parte... ti aspetta l'altra discussione nella sezione di teoria dei numeri che noto oltre a leggere nottetempo non sei stato in grado di commentare nel merito).
Ora sono curioso (e sì, perdo ancora il mio tempo per risponderti, ma non ti ci abituare): quei termini "altisonanti" li ho USATI per risolvere un complesso problema di teoria dei numeri creando proprio un nuovo filone di ricerca (io ho considerato solo il caso $g=10$, ma la proprietà è sicuramente generalizzabile almeno a qualsiasi sitema di numerazione squarefree e il procedimento sarà identico, ma ogni volta che $g$ non è un numero primo dovrai risolvere un'equazione di grado minimo $n:=n(g)$ nell'anello commutativo dei $g$-adici - nel caso di $g=10$ si ha $n=5$). Tutto ciò che ho scritto a partire da questo è stato revisionato da qualche decina di persone immensamente più competenti di te in teoria dei numeri e pubblicato (e anche approvato su arXiv in modo manuale).
Sono un endorser in math.NT, ho revisionato anche dei paper recentemente di teoria dei numeri e sono un ricercatore indipendente, tu solo un anonimo che non fa che parlare di me su un forum di matematica. Aspetto che la moderazione prenda provvedimenti e se vuoi poi scrivimi pure e organizziamo una live, paper alla mano (la lista - parziale e provvisoria - delle mie pubblicazioni e preprint già l'ho pubblicata in risposta a una tua diffamazione).
"pilloeffe":
[quote="gugo82"]Quindi fatico a comprendere il nesso del tuo post con questo thread.
Concordo con gugo82.
"marcokrt":
Tornando sull'idea di uguaglianza, citerei anche l'uso del simbolo $:=$ che può essere utilizzato come una sorta di assegnazione direzionata/definizione formale, dove per convenzione assumiamo che il simbolo a sinistra di $:=$ sia quello che ci semplifica la vita.
Capisco che i matematici puri siano sempre un po' restii in tal senso, ma il simbolo $:= $ con quel significato è codificato già nella prima edizione del 2009-12-01 della normativa ISO 80000-2 - Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology, per la precisione Item No. 2-7.3 (11-5.3).
L'altro significato di assegnazione è addirittura di gran lunga precedente, essendo presente nel linguaggio di programmazione Pascal, creato nel 1970 da Niklaus Wirth e basato sul linguaggio ALGOL; il linguaggio di programmazione è stato denominato così in onore di Blaise Pascal che inventò nel 1645 la Pascalina, considerata la prima calcolatrice.[/quote]
Forse non mi sono espresso chiaramente, ma il senso di ciò che avevo scritto era segnalare come il simbolo $:=$ descriva un tipo di uguaglianza con connotati asimmetrici, giusto per ampliare il discorso, non per mettere in dubbio la bontà della relativa convenzione di utilizzo (anche se ho visto per anni gente scrivere "def" sopra l'uguale, anziché farlo precedere dai due punti).
Sì, sapevo già che derivava dalla programmazione, ma non credevo che la sua origine risalisse addirittura al 1970, interessante.
Blaise Pascal mi pare di averlo già sentito nominare, essendo stato incluso nello stesso tier (in modo assolutamente immeritato) dall'autore di un articolo (ora non più disponibile pubblicamente) che è esperto di alti QI. Citando il Pascal mi hai riportato con la mente a quando ero bambino e sentivo nominare Fortran, Basic, COBOL e appunto Pascal come linguaggi di programmazione non ancora relegati in qualche museo dell'intelletto.
"marcokrt":
Fortran, Basic, COBOL e appunto Pascal come linguaggi di programmazione non ancora relegati in qualche museo dell'intelletto.
BASIC & PASCAL in quanto linguaggi provenienti dalla "accademia" sono quasi del tutto svaniti nel tempo.
FORTRAN & COBOL sono prodotti dell'industria e come tali ancora vivi, ci sono altissime probalibilità che la tua banca, la tua assicurazione ed ogni tuo dato in mano alla cosa pubblica siano gestiti da COBOL, CICS e Db2.
Aggiungo che forse COBOL è l'unico prodotto da comitato che abbia mai funzionato.
"sivepofo":
[quote="marcokrt"]Fortran, Basic, COBOL e appunto Pascal come linguaggi di programmazione non ancora relegati in qualche museo dell'intelletto.
BASIC & PASCAL in quanto linguaggi provenienti dalla "accademia" sono quasi del tutto svaniti nel tempo.
FORTRAN & COBOL sono prodotti dell'industria e come tali ancora vivi, ci sono altissime probalibilità che la tua banca, la tua assicurazione ed ogni tuo dato in mano alla cosa pubblica siano gestiti da COBOL, CICS e Db2.
Aggiungo che forse COBOL è l'unico prodotto da comitato che abbia mai funzionato.[/quote]
Non lo avrei mai detto. Sto leggendo ora su Wiki che ancora nel 2013 la maggioranza delle transazioni e delle applicazioni aziendali sarebbero COBOL. Chiudo l'OT, ma felice di aver imparato qualcosa di nuovo e inaspettato in questa domenica autunnale.
"marcokrt":
Forse non mi sono espresso chiaramente [...]
Direi anche senza "Forse"...
"marcokrt":
[...]giusto per ampliare il discorso [...]
Per ampliare il discorso, anche il simbolo [tex]\widehat{=}[/tex] è asimmetrico: quando [tex]1 \, cm[/tex] su una mappa corrisponde a [tex]10 \, km[/tex] nella realtà, si può scrivere [tex]1 \, cm \; \widehat{=} \; 10 \, km[/tex]
La corrispondenza non è simmetrica, nel senso che ovviamente non è vero che [tex]10 \, km[/tex] sulla mappa corrispondono a [tex]1 \, cm[/tex] nella realtà.
"marcokrt":
anche se ho visto per anni gente scrivere "def" sopra l'uguale, anziché farlo precedere dai due punti
Il che è perfettamente lecito, in quanto anche il simbolo [tex]\overset{\textit{def}}{=}[/tex] è codificato già nella prima edizione del 2009-12-01 della normativa ISO 80000-2 - Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology, nello stesso Item No. 2-7.3 (11-5.3) già citato nel mio post precedente. Poi anche a me non piace e preferisco $:= $, intendiamoci, ma qui stiamo parlando di standard internazionali, non di gusti personali. Ricordo a tutti, ma specialmente ai matematici puri che più degli altri hanno la tendenza a non seguire gli standard internazionali perfino nelle pubblicazioni, che vanno spiegati subito chiaramente i simboli usati che non sono specificati negli standard internazionali: ad esempio ho visto per anni ed anche piuttosto di recente usare il simbolo [tex]\overset{\Delta}{=}[/tex] col significato di uguale per definizione. Non c'è niente di male, intendiamoci, ma va spiegato subito chiaramente che nel seguito della pubblicazione in questione sarà inteso che il simbolo
[tex]\overset{\Delta}{=}[/tex] significa uguale per definizione, cioè $:= $ oppure [tex]\overset{\textit{def}}{=}[/tex] dello standard ISO 80000-2.
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