Legame tra FORMULA DEL GRADIENTE e differenziale

[CallistoBello]

Salve, nel corso di Analisi2 mi sono state fornite le seguenti definizioni:
-def(differenziale di $f$ in un punto \( \overrightarrow{x_0} \) ):
<<è l'Applicazione Lineare che associa ad un vettore: incremento\( \overrightarrow{h} \) il ProdottoScalare tra il Gradiente di f (valutato nel Punto \( \overrightarrow{x_0} \) ) ed il vettore \( \overrightarrow{h} \) >>

$df$(\( \overrightarrow{x_0} \)): \( \overrightarrow{h} \) --> \( \bigtriangledown f(\overrightarrow{x_0} )\circ \overrightarrow{h} \)
\
-(Formula del Gradiente):
<< Sia f una funzione definita in un Aperto A di $R^n$ A VALORI in $R$ e sia \( \overrightarrow{x_0} \) un punto di questo Aperto.
Se siamo nell'ipotesi per cui: "f è differenziabile in \( \overrightarrow{x_0} \)
allora vale la formula per cui:
\( D_\overrightarrow{v}f(\overrightarrow{x_0})=\nabla f (\overrightarrow{x_0}) \circ \overrightarrow{v} \)
>>

Mi chiedevo:
Stante la simmetria tra queste due formule, sarebbe corretto :
< una derivata direzionale "ma dalle connotazioni LOCALI">>
e cioè dire che:
< e cioè
"una derivata direzionale nel caso in cui il vettore direzione sia proprio il vettore incremento \( \overrightarrow{h} \) utilizzato nel caso in cui vogliamo vedere se una funzione è approssimabile ad una funzione lineare in un intorno di quel punto>> ??

[gugo82]

La definizione non è corretta.
Il differenziale di una funzione scalare $f$ in un punto $x_0$ interno al suo dominio è, se esiste, un'applicazione lineare $L:RR^n -> RR^n$ tale che:

$lim_{|x-x_0|->0} (f(x) - f(x_0) - L(x-x_0))/(|x-x_0|) = 0$.

Se una tale $L$ esiste è unica, si chiama differenziale di $f$ in $x_0$ e si indica con $"D"f(x_0;v)$ oppure $"D"_v f(x_0)$ o altre notazioni esotiche (in cui la variabile è sempre, però, il vettore/incremento $v$).
Si dimostra che se una tale $L$ esiste, allora esistono anche tutte le derivate direzionali di $f$ in $x_0$ (in particolare, esiste il vettore gradiente) e che vale la formula del gradiente:

$(partial f)/(\partial v) (x_0) = "D"_v f(x_0) = nabla f(x_0) \cdot v$.


P.S.: Vedere la freccia sui punti fa più male agli occhi di non vederla sui vettori.

[CallistoBello]

"gugo82":P.S.: Vedere la freccia sui punti fa più male agli occhi di non vederla sui vettori.

Perché? Solitamente, la utilizziamo per riferirci alle n-ple

"gugo82": si chiama differenziale di f in x0 e si indica con Df(x0;v)

Quindi ,
"Se riusciamo a trovare una funzione lineare $L$ tale che: valga l'ipotesi di differenziabilità della funzione nel Punto $(x_0,y_0)$ (ergo: che quel limite valga 0),
questa $L$ la chiamo differenziale di $f$ nel punto $(x_0,y_0)$"
Conseguenza:
1.tutte le derivate direzionali di $f$ in $(x0,y0)$
2."in quel limite, io posso sostituire al posto della $L$ una qualsiasi derivata direzionale di questa forma:
$(partial f)/(\partial v) (x_0) = "D"_v f(x_0) = nabla f(x_0) \cdot v$
perché sono certo che mi rendono verificata l'uguaglianza: limite=0"

In pratica: il differenziale della funzione lo posso vedere come
"una famiglia di funzioni lineari
-TALI CHE: quel limite sia uguale 0
- tutte quante di questa forma: $(partial f)/(\partial v) (x_0) = "D"_v f(x_0) = nabla f(x_0) \cdot v$