Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul tema.
Io ho la seguente quantità: $\int_(0)^(+\infty)\partial/(\partialK)[(S_T-K)^+]P(S_T,T;S_0)dS_T$, con $P$ densità di transizione. Ora, fonte Wikipedia, la funzione di Heaviside è una funzione discontinua che ha valore $0$ per argomenti negativi e $1$ per argomenti positivi. Dunque $ \Theta(x)=1$ se $S_T>=K$ e $0$ altrimenti. Sempre fonte Wikipedia, la derivata della funzione di Heaviside è la delta di Dirac. Quindi $ \partial/(\partialK) \Theta(x)^+=\delta(S_T-K) $, dove da quanto ho capito (applicato al mio caso) $delta=1$ se $S_T>=K$ e $0$ altrimenti. Allora quello che mi chiedo è: la delta di Dirac svolge la medesima funzione della funzione indicatrice (ovvero $(S_T-K)mathbb(1)_{{S_T>=K}}$)?
Io ho la seguente quantità: $\int_(0)^(+\infty)\partial/(\partialK)[(S_T-K)^+]P(S_T,T;S_0)dS_T$, con $P$ densità di transizione. Ora, fonte Wikipedia, la funzione di Heaviside è una funzione discontinua che ha valore $0$ per argomenti negativi e $1$ per argomenti positivi. Dunque $ \Theta(x)=1$ se $S_T>=K$ e $0$ altrimenti. Sempre fonte Wikipedia, la derivata della funzione di Heaviside è la delta di Dirac. Quindi $ \partial/(\partialK) \Theta(x)^+=\delta(S_T-K) $, dove da quanto ho capito (applicato al mio caso) $delta=1$ se $S_T>=K$ e $0$ altrimenti. Allora quello che mi chiedo è: la delta di Dirac svolge la medesima funzione della funzione indicatrice (ovvero $(S_T-K)mathbb(1)_{{S_T>=K}}$)?
Risposte
No.
A parte il fatto che non vedo funzioni di Heaviside nel tuo integrale, ma solo una troncatura positiva, la funzione di Heaviside ha derivata classica q.o. nulla e derivata distribuzionale coincidente con la $delta$ di Dirac.
La distribuzione $delta$ è definita come il funzionale lineare che ad ogni funzione $phi$ dello spazio test scelto (usualmente $C_c^oo$) associa il valore della funzione test in $0$, cioè $phi(0)$. Tale distribuzione non è regolare, nel senso che non esiste nessuna funzione “sensata” $d$ tale che $int_(-oo)^(+oo) d(x) phi(x) text(d) x = phi(0)$ per ogni test $phi$; ciò nonostante, chi fa applicazioni ritiene comodo pensare alla $delta$ come una funzione, la quale assume valore $0$ ovunque, tranne che in $0$ ove prende valore $+oo$, ed ha integrale uguale ad $1$ su ogni intervallo che contiene $0$ come punto interno.
A parte il fatto che non vedo funzioni di Heaviside nel tuo integrale, ma solo una troncatura positiva, la funzione di Heaviside ha derivata classica q.o. nulla e derivata distribuzionale coincidente con la $delta$ di Dirac.
La distribuzione $delta$ è definita come il funzionale lineare che ad ogni funzione $phi$ dello spazio test scelto (usualmente $C_c^oo$) associa il valore della funzione test in $0$, cioè $phi(0)$. Tale distribuzione non è regolare, nel senso che non esiste nessuna funzione “sensata” $d$ tale che $int_(-oo)^(+oo) d(x) phi(x) text(d) x = phi(0)$ per ogni test $phi$; ciò nonostante, chi fa applicazioni ritiene comodo pensare alla $delta$ come una funzione, la quale assume valore $0$ ovunque, tranne che in $0$ ove prende valore $+oo$, ed ha integrale uguale ad $1$ su ogni intervallo che contiene $0$ come punto interno.
"gugo82":
non vedo funzioni di Heaviside nel tuo integrale, ma solo una troncatura positiva
Grazie mille per la risposta gugo82. Il docente ci ha detto (cito dalla sbobinatura) che "si è lasciata la parte positiva perchè si dimostra che, data una funzione del tipo $x-K$ parte positiva, la derivata rispetto ad $x$ di questa quantità è la funzione di Heaviside". Quindi tra gli appunti mi trovo scritto che $\partial/(\partialK)[(S_T-K)^+]=\Theta(x)$ con $\Theta(x):=\partial/(\partialx)x^+$, da cui $\int_(0)^(+\infty)\Theta(S_T-K)P(S_T,T;S_0)dS_T$.
Successivamente, andando a calcolare la derivata seconda, scrive che:
$\partial/(\partialK)[\int_(0)^(+\infty)\Theta(S_T-K)P(S_T,T;S_0)dS_T]=\int_(0)^(+\infty)\delta(S_T-K)P(S_T,T;S_0)dS_T=P(S_T,T;S_0)$
Inoltre, la mia domanda circa l'eventualità che la delta di Dirac svolgesse la stessa funzione della funzione indicatrice deriva da quanto scritto sotto:
Eliminiamo gli orpelli e semplifichiamo la notazione.
Per definizione:
\[
\begin{split}
x^+ & := \begin{cases} x &\text{, se } x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } x <0 \end{cases} \\
\Theta (x) &:= \begin{cases} 1 &\text{, se } x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } x < 0 \end{cases}
\end{split}
\]
e da ciò segue che q.o. (e dunque anche a livello distribuzionale) hai $(text(d))/(text(d) x) [ x^+] = Theta (x)$; inoltre, dato che $(text(d))/(text(d) x) Theta (x) = delta (x)$ a livello distribuzionale, è chiaro che puoi scrivere $(text(d)^2)/(text(d) x^2) [ x^+] = delta(x)$ sempre a livello distribuzionale.
Inoltre, osserva che, per definizione, hai $Theta = mathbf(1)_(\{x >= 0\})$, cosicché il gradino di Heaviside è una particolare funzione indicatrice.
Quello che non mi torna del tuo post è che stai derivando rispetto al parametro di troncatura $K$ e non rispetto alla variabile troncata $S$… Quindi devi fare il conto con un po’ di attenzione (probabilmente dovrai cambiare qualche segno).
Per definizione:
\[
\begin{split}
x^+ & := \begin{cases} x &\text{, se } x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } x <0 \end{cases} \\
\Theta (x) &:= \begin{cases} 1 &\text{, se } x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } x < 0 \end{cases}
\end{split}
\]
e da ciò segue che q.o. (e dunque anche a livello distribuzionale) hai $(text(d))/(text(d) x) [ x^+] = Theta (x)$; inoltre, dato che $(text(d))/(text(d) x) Theta (x) = delta (x)$ a livello distribuzionale, è chiaro che puoi scrivere $(text(d)^2)/(text(d) x^2) [ x^+] = delta(x)$ sempre a livello distribuzionale.
Inoltre, osserva che, per definizione, hai $Theta = mathbf(1)_(\{x >= 0\})$, cosicché il gradino di Heaviside è una particolare funzione indicatrice.
Quello che non mi torna del tuo post è che stai derivando rispetto al parametro di troncatura $K$ e non rispetto alla variabile troncata $S$… Quindi devi fare il conto con un po’ di attenzione (probabilmente dovrai cambiare qualche segno).
Chiarissimo. Grazie mille gugo!
Prego.
Osserva che ho aggiunto due righe al mio post precedente.
Osserva che ho aggiunto due righe al mio post precedente.
Si, infatti stavo per risponderti. In effetti la definizione impone la derivata rispetto ad $x$ e non a $K$... Il problema è che non viene fatto alcun cambio di segno nella dimostrazione…
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