Legame tra differenziabilità ed esistenza (con continuità) delle derivate parziali?

[Jokah]

Salve gente, al solito sono qui a chiedere se una data dimostrazione può essere considerata corretta. Devo dimostrare il seguente risultato: Se $f: D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ è una funzione che ammette tutte le derivate parziali in un dato punto $\vec{x_0}\inD$ e in un suo intorno $U_{\vec{x_0}}$ queste sono anche continue, allora la funzione è differenziabile nel punto $\vec{x_0}$.

Ho abbozzato la seguente dimostrazione:

Nota preliminare: questa dimostrazione l'ho abbozzata personalmente senza trovarla da nessuna parte (sui libri di testo non c'è riferimento a questa formula né sapevo come cercarla in internet), per cui mi scuso per eventuali ca**ate.
Prima di tutto dimostro una conclusione di setup che mi torna comoda e che il professore ha chiaramente evitato di spiegare assumendola come già nota (evidentemente non era così).

Se una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è derivabile in un dato punto $x_0\in\mathbb{R}$ allora si può scrivere che $f(x_0+h) - f(x_0) = f'(x_0)h + o(h)$.

$\text{Dim:}$

Per definizione di derivata si ha che

$\lim_{h\to\0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0) \to \lim_{h\to\0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} -\lim_{h\to\0} frac{hf'(x_0)}{h} = 0$

Dato che $f'(x_0)$ è una costante rispetto ad $h$ e che l'operatore limite è lineare la precedente implica che:

$\lim_{h\to\0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0) - hf'(x_0)}{h}= 0 \to f(x_0+h) - f(x_0) - hf'(x_0) = o(h)$ per definizione di o piccolo.
Da questa si ricava facilmente $f(x_0+h) - f(x_0) = hf'(x_0) + o(h)$

è immediata l'estensione al caso di una derivata parziale (riproducendo il medesimo ragionamento): Se $\vec{h} = (0,0,...,0,h_i,0,...,0)$

$f(\vec{x_0}+\vec{h}) - f(\vec{x_0}) = h_i\frac{\partialf}{\partialx_i}(\vec{x_0}) + o(h_i)$.

$\text{Dim: (Proposizione iniziale)}$ Dimostriamo nel caso specifico $n=2$, con $\vec{x_0} = (x,y)$ e $\vec{h} = (h_x, h_y)$.

Vale la seguente identità (aggiungendo e rimuovendo $f(x,y+h_y)$:

$f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y) = f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y+h_y) + f(x,y+h_y) - f(x,y)$

Riconosciamo grazie alla dimostrazione del punto precedente che \(f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y+h_y) = h_x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_x) + o(h_x)\)

e analogamente
\(f(x,y+h_y) - f(x,y) = h_y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) + o(h_y)\)

Segue che \(f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y) = h_x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_x) + o(h_x) + h_y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) + o(h_y)\)

Aggiungendo e togliendo al secondo membro $h_x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ segue che

\(f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y) = h_x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_x) -h_x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + h_x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + h_y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) + o(h_x) + o(h_y)\)

Riconoscendo quindi questa configurazione

\( f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y) = h_x[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_x) -\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)] + \nabla f|_{(x,y)}\cdot h + o(h_x) + o(h_y)\)

Ne deriva pertanto che

\( f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y) = h_x[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_x) -\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)] + df(x,y) + o(h_x) + o(h_y)\)

dove il termine $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_x) -\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ tende a 0 per continuità della derivata parziale (questo passaggio mi lascia perplesso, com'è che posso considerarlo nullo nonostante non si stia considerando il limite per $\h_x\to0$?).

Allora \( f(x+h_x, y+h_y) - f(x,y) = df(x,y) + o(h_x) + o(h_y)\) cioè la funzione $f$ è differenziabile nel punto considerato (cfr definizione di differenziabilità).

Anche qui non mi è chiaro: posso riassumere $o(h_x) + o(h_y)$ in \(o(\begin{Vmatrix}\vec{h}\end{Vmatrix})\)? Se sì perché?

Grazie della infinita pazienza.

[Jokah]

Nessuna idea?