Legame monotonia (non stretta) e iniettività

[lordb]

Ciao a tutti, mi chiedevo se ciò che segue fosse vero:

Sia $f:RR->RR$ continua e monotòna non strettamente, allora $f$ o è crescente o è decrescente o entrambe (costante).
Sia $X={$ $\text {punti di flesso per} $ $f}$, se $AA x in X$ $ \nexists $ $U$ $ \text {intorno di x}$ $|f_(|U)=\text{costante}$ allora $f$ è iniettiva.

Secondo me sì, voi che ne pensate ?

[Rigel1]

Come definisci i punti di flesso per una funzione senza richieste di regolarità?
C'è comunque un enunciato più semplice: se $f$ è monotona e non è costante su alcun intervallo, allora è iniettiva.

[lordb]

Capisco, ti ringrazio. Se sostituissi continua con derivabile potrebbe andare quello che ho scritto ?

[Rigel1]

Per definire decentemente i punti di flesso ci vogliono un paio di derivate.
Ma a questo punto, usando una sola derivata, conviene un enunciato del tipo:
Sia \(f: I\to\mathbb{R}\) una funzione derivabile nell'intervallo \(I\).
Allora \(f\) è strettamente monotona crescente (dunque iniettiva) in \(I\) se e solo se \(f'(x)\geq 0\) per ogni \(x\in I\) e \(f'\) non è identicamente nulla su alcun sottointervallo (non banale) \(J\subset I\).
(Analoga caratterizzazione vale per le funzioni strettamente monotone decrescenti).

[lordb]

Ok perfetto, sì in effetti definire un punto di flesso con le derivate di ordine superiore la vedo piuttosto dura dal momento che si dovrebbe supporre la funzione di classe $C^N_RR$ o sbaglio?