Legame integrabilità con derivabilità
Ho un dubbio stupido che non riesco bene a risolvere.
Mi chiedo se una funzione derivabile ha una sua derivata sempre integrabile con Rieman. Come potrei fare a rispondermi? Non so se sia vero o meno e come mostrare un controesempio nel caso non lo fosse
Perché ad occhio con il teorema fondamentale del caloclo integrale per definizione di integrale definito, data la derivata della funzione ho una funzione integrabile: poiché derivabile ha una primitiva e quindi è ntegrabile in modo indefiito.
D'altra parte l'integrale definito posso svolgerlo come differenza di due primitive.
Però non so se sia un ragionamento pulito e valido
Ringrazio
Mi chiedo se una funzione derivabile ha una sua derivata sempre integrabile con Rieman. Come potrei fare a rispondermi? Non so se sia vero o meno e come mostrare un controesempio nel caso non lo fosse
Perché ad occhio con il teorema fondamentale del caloclo integrale per definizione di integrale definito, data la derivata della funzione ho una funzione integrabile: poiché derivabile ha una primitiva e quindi è ntegrabile in modo indefiito.
D'altra parte l'integrale definito posso svolgerlo come differenza di due primitive.
Però non so se sia un ragionamento pulito e valido
Ringrazio
Risposte
Wow non la conoscevo. Però ho spiegato male il dubbio
Mi aiutereste a capire dove è sbagliato il mio ragionamento? Perché da quanto dico mi sembra sia corretto
Mi aiutereste a capire dove è sbagliato il mio ragionamento? Perché da quanto dico mi sembra sia corretto
Io non ho capito niente di quello che hai scritto. Prova a riformulare in maniera più chiara e se ne discute.
Dicevo che per il teorema fondamentale del calcolo integrale un integrale di Riemann è pari alla differenza di una primitiva in due punti estremi dell'intervallo di integrazione.
Detto questo, un integrale indefinito è la classe di funzioni primitive di una certa funzione, dunque se una funzione f(x) è derivabile f'(x)=g(x) automaticamente data g(x) esiste la primitiva.
Quindi se ho una funzione g(x) ne faccio l'integrale definito trovo la primitiva e posso sempre integrare alla R.
La mia domanda era quindi: una funzione derivabile ha una sua derivata sempre integrabile alla Riemann? Mi pare di sì.
Però il tuo controesempio dice che sbaglio, non capisco eprché
Grazie.
Detto questo, un integrale indefinito è la classe di funzioni primitive di una certa funzione, dunque se una funzione f(x) è derivabile f'(x)=g(x) automaticamente data g(x) esiste la primitiva.
Quindi se ho una funzione g(x) ne faccio l'integrale definito trovo la primitiva e posso sempre integrare alla R.
La mia domanda era quindi: una funzione derivabile ha una sua derivata sempre integrabile alla Riemann? Mi pare di sì.
Però il tuo controesempio dice che sbaglio, non capisco eprché
Grazie.
"giangianni":
[...] La mia domanda era quindi: una funzione derivabile ha una sua derivata sempre integrabile alla Riemann? Mi pare di sì. [...]
E invece no. Il controesempio è la funzione di Volterra di cui sopra. È una funzione continua e derivabile ovunque con derivata limitata ma discontinua su un insieme di misura positiva. Questo viola un teorema di Lebesgue sull'integrabilità secondo Riemann (una funzione è integrabile (propriamente) secondo Riemann se e solo se è limitata ed ha al più un insieme di misura nulla di punti di discontinuità).
Penso che la confusione sia a livello sintattico. Se \( V(x) \) è la funzione di Volterra, è vero che \( V'(x) \) esiste ovunque, il che equivale a scrivere \( \int V'(x) \, dx = V(x) \). \(V \) è una primitiva di \(V' \). Nota che finora non abbiamo usato alcuna nozione di integrabilità secondo Riemann. Tuttavia l'oggetto \( \int_a^b V'(x) \, dx \) non esiste (per i motivi di cui sopra). Il teorema fondamentale del calcolo integrale ti dice che, sotto opportune ipotesi, puoi esprimere \( \int_a^b f(x) \, dx \) attraverso una primitiva di \(f \); queste "opportune ipotesi" sono sufficienti a garantire l'esistenza (o buona definizione) dell'oggetto \( \int_a^b f(x) \, dx \).
Sto seguendo Analisi 1 ma non mi pare di aver mai sentito di quel lemma di Lebesgue. Mi sa che devo colmare questa lacuna allora. Dove potrei leggerne a riguardo?
Per quanto riguarda invece il thm fondamnetale hai ragione, deve essere soddisfatta una Hp fondamentale, ossia che la funzione che chiamai g(x) deve essere continua su [a,b], quella di Volterra non lo è?
Per quanto riguarda invece il thm fondamnetale hai ragione, deve essere soddisfatta una Hp fondamentale, ossia che la funzione che chiamai g(x) deve essere continua su [a,b], quella di Volterra non lo è?
"giangianni":
[...] Dove potrei leggerne a riguardo? [...]
Per esempio qui. Il riferimento che viene dato è il libro di Apostol, ma sono abbastanza sicuro che stia anche nel De Marco. Di solito ad Analisi I questa cose vengono "tralasciate" e poi riprese nei corsi di Analisi Reale.
"giangianni":
[...] Per quanto riguarda invece il thm fondamnetale hai ragione, deve essere soddisfatta una Hp fondamentale, ossia che la funzione che chiamai g(x) deve essere continua su [a,b], quella di Volterra non lo è?
La funzione che hai chiamato \(g\) è la mia \(V'\), che come ho detto è discontinua su un insieme di misura positiva.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="giangianni"][...] Per quanto riguarda invece il thm fondamnetale hai ragione, deve essere soddisfatta una Hp fondamentale, ossia che la funzione che chiamai g(x) deve essere continua su [a,b], quella di Volterra non lo è?
La funzione che hai chiamato \(g\) è la mia \(V'\), che come ho detto è discontinua su un insieme di misura positiva.[/quote]
Grazie mille volevo esser sicuro di aver ben capito. Perfetto
Grazie anche per il link ci do un occhio subito, sei stato gentilissimo. Buona domenica.
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