Lebesgue, integrabilità e assoluta integrabilità
Voglio chiarire una volta per tutte questa cosa.
Non riesco a capire perché integrabilità e assoluta integrabilità non coincidono nell'integrale di Lebesgue.
Scrivo le definizioni qua in mio possesso:
Sia \( E \) un insieme misurabile e sia \( f : E \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \). Dico che \( f \) è sommabile su \( E \) se e solo se \( f^+ \) e \( f^- \) sono sommabili su \( E \) ovvero se e solo se \( |f| \) è sommabile su \( E \) (ricordo che \( f^+ = \max \lbrace f, 0 \rbrace \) e \( f^- = \max \lbrace -f, 0 \rbrace \) e preciso che con "sommabile" intendo dotato di integrale finito).
A me sembra che con la definizione data non ci sia via di scampo: integrabilità e assoluta integrabilità coincidono.
Eppure, in questo post è stato scritto il contrario:
Paolo (o chi per lui) potresti farmi un esempio di funzione che è integrabile secondo Lebesgue e che non è assolutamente integrabile secondo Lebesgue?
Non riesco a capire perché integrabilità e assoluta integrabilità non coincidono nell'integrale di Lebesgue.
Scrivo le definizioni qua in mio possesso:
Sia \( E \) un insieme misurabile e sia \( f : E \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \). Dico che \( f \) è sommabile su \( E \) se e solo se \( f^+ \) e \( f^- \) sono sommabili su \( E \) ovvero se e solo se \( |f| \) è sommabile su \( E \) (ricordo che \( f^+ = \max \lbrace f, 0 \rbrace \) e \( f^- = \max \lbrace -f, 0 \rbrace \) e preciso che con "sommabile" intendo dotato di integrale finito).
A me sembra che con la definizione data non ci sia via di scampo: integrabilità e assoluta integrabilità coincidono.
Eppure, in questo post è stato scritto il contrario:
"Paolo90":
Secondo me è una questione di definizioni e di notazioni.
Io non direi che per l'integrale di Lebesgue "convergenza e convergenza assoluta" si equivalgono. Infatti, esistono delle funzioni che sono integrabili secondo Lebesgue ma che non sono assolutamente integrabili secondo Lebesgue.
Quello che è vero è che in $L^1$ integrabilità e assoluta integrabilità coincidono, proprio perché $L^1$ è lo spazio delle funzioni integrabili in modulo.
Il problema è che alcuni testi/autori chiamano "integrabile" una qualunque funzione che ha modulo integrabile, cioè sta in $L^1$. Altri invece distinguono più propriamente tra funzioni "sommabili" o "integrabili" (intendendo che $\int f <+\infty$) e funzioni assolutamente integrabili ($\int |f| <\infty$).
Paolo (o chi per lui) potresti farmi un esempio di funzione che è integrabile secondo Lebesgue e che non è assolutamente integrabile secondo Lebesgue?
Risposte
Dipende dalla definizione di integrale.
In molti testi (cfr. Rudin, Real and Complex Analysis, ad esempio) la definizione di integrale è data prima per funzioni semplici positive, poi per funzioni misurabili positive ed infine per funzioni complesse arbitrarie: in particolare, l'integrale di funzioni (per comodità reali) di segno arbitrario è definito come:
\[
\int_E f\ \text{d} \mu = \int_E f^+\ \text{d} \mu - \int_E f^-\ \text{d} \mu
\]
se la somma è fatta da addendi entrambi finiti; ciò equivale a richiedere che \(|f|:=f^+ +f^-\) sia integrabile ed abbia integrale finito, dunque che \(f\in L^1(\mu)\).
Tuttavia anche Rudin nota che questa restrizione, probabilmente utile nel caso di funzioni a valori complessi, è un po' artificiosa nel caso reale:
Però, anche con queste modifiche, non è ancora possibile distinguere tra "integrabilità" ed "assoluta integrabilità": infatti, affinché ciò sia possibile, bisogna trovare un modo di definire l'integrale di Lebesgue di funzioni reali senza basare il tutta la costruzione sull'integrale di funzioni semplici positive.
Una costruzione del genere può effettivamente essere fatta, ed è molto simile alla costruzione dell'integrale di Riemann, ma ovviamente si perde in generale la possibilità di "disaccoppiare" i contributi all'integrale apportati dalla parte positiva e dalla parte negativa; in altre parole, si verifica lo stesso fenomeno che si verifica per l'integrale di Riemann, i.e. esistono funzioni \(f\) integrabili tali che la somma a secondo membro della (2) di Rudin è nella forma \(\infty - \infty\).
Detta molto a braccio, la costruzione per funzioni limitate su un intervallo compatto è la seguente.
Smanettando con la definizione di integrale superiore ed inferiore di Riemann ti rendi conto che esse equivalgono a:
\[
\begin{split}
\underline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x &= \sup \left\{ \int_a^b s(x)\ \text{d} x,\ \text{ con } s \text{ funzione a scalini t.c. } s(x)\leq f(x) \text{ in } [a,b] \right\}\\
\overline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x &= \inf \left\{ \int_a^b \sigma (x)\ \text{d} x,\ \text{ con } \sigma \text{ funzione a scalini t.c. } f(x)\leq \sigma (x) \text{ in } [a,b] \right\}
\end{split}
\]
(qui con "funzione a scalini" intendo una funzione che è combinazione lineare di funzioni caratteristiche di intervalli aperti e a due a due disgiunti, le cui chiusure formano un ricoprimento di \([a,b]\)); a questo punto, per analogia, definisci gli integrali superiore ed inferiore di Lebesgue come:
\[
\begin{split}
\underline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 &:= \sup \left\{ \int_a^b \phi\ \text{d} \mathcal{L}^1,\ \text{ con } \phi \text{ funzione semplice t.c. } \phi \leq f \text{ q.o. in } [a,b] \right\}\\
\overline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 &:= \inf \left\{ \int_a^b \psi\ \text{d} \mathcal{L}^1,\ \text{ con } \psi \text{ funzione semplice t.c. } f\leq \psi \text{ q.o. in } [a,b] \right\}
\end{split}
\]
(qui con "funzione semplice" intendo una funzione che è combinazione lineare di funzioni caratteristiche di misurabili secondo Lebesgue che a due a due hanno in comune al più insiemi di misura nulla, ed \(\mathcal{L}^1\) è la misura di Lebesgue ordinaria sulla retta reale).
Chiaramente è:
\[
\underline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x \leq \underline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 \leq \overline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 \leq \overline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x
\]
quindi ogni funzione integrabile secondo Riemann, i.e. ogni funzione tale che \(\underline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x = \overline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x \), è pure integrabile secondo Lebesgue, cioé ha \(\underline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 = \overline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1\). Etc...
Probabilmente, ma è un guess, la stessa costruzione si può fare per funzioni non limitate (immagino con l'uso di opportune troncature...).
Al momento, non so quali possano essere i vantaggi che derivano da questa costruzione dell'integrale, a parte l'ovvio ampliamento della classe delle funzioni integrabili (che, "ad occhio", dovrebbe ora coincidere -o quasi- con la classe delle funzioni misurabili).
A questo punto, attendo un commento di Paolo o di qualcuno più avvezzo a questa costruzione.
In molti testi (cfr. Rudin, Real and Complex Analysis, ad esempio) la definizione di integrale è data prima per funzioni semplici positive, poi per funzioni misurabili positive ed infine per funzioni complesse arbitrarie: in particolare, l'integrale di funzioni (per comodità reali) di segno arbitrario è definito come:
\[
\int_E f\ \text{d} \mu = \int_E f^+\ \text{d} \mu - \int_E f^-\ \text{d} \mu
\]
se la somma è fatta da addendi entrambi finiti; ciò equivale a richiedere che \(|f|:=f^+ +f^-\) sia integrabile ed abbia integrale finito, dunque che \(f\in L^1(\mu)\).
Tuttavia anche Rudin nota che questa restrizione, probabilmente utile nel caso di funzioni a valori complessi, è un po' artificiosa nel caso reale:
"Rudin, in Real and Complex Analysis, §1.31,":1scs8tas:
Occasionally, it is desiderable to define the integral of a measurable function \(f\) with range in \([-\infty ,\infty]\) [\(=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\), n.d. Gugo82] to be:
\[\tag{2}
\int_E f\ \text{d}\mu = \int_E f^+\ \text{d}\mu - \int_E f^-\ \text{d}\mu
\]
provided that at least one of the integrals on the right of (2) is finite. The left side of (2) is then a number in \([-\infty ,\infty]\).
Però, anche con queste modifiche, non è ancora possibile distinguere tra "integrabilità" ed "assoluta integrabilità": infatti, affinché ciò sia possibile, bisogna trovare un modo di definire l'integrale di Lebesgue di funzioni reali senza basare il tutta la costruzione sull'integrale di funzioni semplici positive.
Una costruzione del genere può effettivamente essere fatta, ed è molto simile alla costruzione dell'integrale di Riemann, ma ovviamente si perde in generale la possibilità di "disaccoppiare" i contributi all'integrale apportati dalla parte positiva e dalla parte negativa; in altre parole, si verifica lo stesso fenomeno che si verifica per l'integrale di Riemann, i.e. esistono funzioni \(f\) integrabili tali che la somma a secondo membro della (2) di Rudin è nella forma \(\infty - \infty\).
Detta molto a braccio, la costruzione per funzioni limitate su un intervallo compatto è la seguente.
Smanettando con la definizione di integrale superiore ed inferiore di Riemann ti rendi conto che esse equivalgono a:
\[
\begin{split}
\underline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x &= \sup \left\{ \int_a^b s(x)\ \text{d} x,\ \text{ con } s \text{ funzione a scalini t.c. } s(x)\leq f(x) \text{ in } [a,b] \right\}\\
\overline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x &= \inf \left\{ \int_a^b \sigma (x)\ \text{d} x,\ \text{ con } \sigma \text{ funzione a scalini t.c. } f(x)\leq \sigma (x) \text{ in } [a,b] \right\}
\end{split}
\]
(qui con "funzione a scalini" intendo una funzione che è combinazione lineare di funzioni caratteristiche di intervalli aperti e a due a due disgiunti, le cui chiusure formano un ricoprimento di \([a,b]\)); a questo punto, per analogia, definisci gli integrali superiore ed inferiore di Lebesgue come:
\[
\begin{split}
\underline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 &:= \sup \left\{ \int_a^b \phi\ \text{d} \mathcal{L}^1,\ \text{ con } \phi \text{ funzione semplice t.c. } \phi \leq f \text{ q.o. in } [a,b] \right\}\\
\overline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 &:= \inf \left\{ \int_a^b \psi\ \text{d} \mathcal{L}^1,\ \text{ con } \psi \text{ funzione semplice t.c. } f\leq \psi \text{ q.o. in } [a,b] \right\}
\end{split}
\]
(qui con "funzione semplice" intendo una funzione che è combinazione lineare di funzioni caratteristiche di misurabili secondo Lebesgue che a due a due hanno in comune al più insiemi di misura nulla, ed \(\mathcal{L}^1\) è la misura di Lebesgue ordinaria sulla retta reale).
Chiaramente è:
\[
\underline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x \leq \underline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 \leq \overline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 \leq \overline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x
\]
quindi ogni funzione integrabile secondo Riemann, i.e. ogni funzione tale che \(\underline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x = \overline{\intop_a^b} f(x)\ \text{d} x \), è pure integrabile secondo Lebesgue, cioé ha \(\underline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1 = \overline{\intop_a^b} f\ \text{d} \mathcal{L}^1\). Etc...
Probabilmente, ma è un guess, la stessa costruzione si può fare per funzioni non limitate (immagino con l'uso di opportune troncature...).
Al momento, non so quali possano essere i vantaggi che derivano da questa costruzione dell'integrale, a parte l'ovvio ampliamento della classe delle funzioni integrabili (che, "ad occhio", dovrebbe ora coincidere -o quasi- con la classe delle funzioni misurabili).
A questo punto, attendo un commento di Paolo o di qualcuno più avvezzo a questa costruzione.
Eh, infatti ho consultato cinque fonti diverse e tutte fanno la costruzione che hai detto tu all'inizio (cioè quella in tre passaggi che poi porta a far coincidere l'assoluta integrabilità con l'integrabilità semplice).
Non sapevo ci fosse questa possibilità di fare una costruzione alternativa; quel che mi domando è se Paolo effettivamente facesse riferimento alla costruzione alternativa che hai mostrato.
Intanto ti ringrazio per la risposta.
Non sapevo ci fosse questa possibilità di fare una costruzione alternativa; quel che mi domando è se Paolo effettivamente facesse riferimento alla costruzione alternativa che hai mostrato.
Intanto ti ringrazio per la risposta.
Sono un po' di corsa in questo momento, perdonate la risposta frettolosa.
Sì, io mi riferivo proprio a quell'estratto del Rudin - R&CA che ha quotato gugo.
Comunque il problema è solo notazionale, non è di concetto (anche definendo in altro modo l'integrale di Lebesgue - e.g. via l'integrale di Archimede, come fanno De Giorgi, Ambrosio et al. - è impossibile distinguere l'integrabilità dall'integrabilità assoluta).
Il punto è questo: prendete
\[
f \colon x \mapsto \frac{\sin{x}}{x}
\]
su $\RR$. Personalmente io non amo dire che $f$ non è Lebesgue integrabile (perché non si capisce bene dove sta il problema: dicendo così sembrerebbe quasi che $\int f = +\infty$ che però è falso). Io direi che è Lebesgue integrabile ma non Lebesgue assolutamente integrabile o più semplicemente ancora che la funzione è integrabile/sommabile ma non è $L^1$.
A questo punto sono curioso: voi come trattate questo caso? Per voi la funzione $f$ non è Lebesgue integrabile?
Sì, io mi riferivo proprio a quell'estratto del Rudin - R&CA che ha quotato gugo.
Comunque il problema è solo notazionale, non è di concetto (anche definendo in altro modo l'integrale di Lebesgue - e.g. via l'integrale di Archimede, come fanno De Giorgi, Ambrosio et al. - è impossibile distinguere l'integrabilità dall'integrabilità assoluta).
Il punto è questo: prendete
\[
f \colon x \mapsto \frac{\sin{x}}{x}
\]
su $\RR$. Personalmente io non amo dire che $f$ non è Lebesgue integrabile (perché non si capisce bene dove sta il problema: dicendo così sembrerebbe quasi che $\int f = +\infty$ che però è falso). Io direi che è Lebesgue integrabile ma non Lebesgue assolutamente integrabile o più semplicemente ancora che la funzione è integrabile/sommabile ma non è $L^1$.
A questo punto sono curioso: voi come trattate questo caso? Per voi la funzione $f$ non è Lebesgue integrabile?
Per me non è Lebesgue-integrabile; se vuoi che \(L^1(\mathbb{R})\) sia uno spazio di Banach, non puoi metterci dentro quella robaccia!
No, per carità, quella roba lì non è $L^1$ e su questo non ci piove e non discuto. Quello che (secondo il mio modestissimo e bassissimo punto di vista) trovo brutto è dire tout-court che "$f$ non è integrabile". Spontaneamente mi verrebbe da dire: "Ah, ok, allora il suo integrale non è finito", che però è una cosa falsa.
Ribadisco comunque quanto dicevo sopra: è per lo più questione di nomi. E alla fin fine (nel mio piccolo) ho sempre visto usare scritture del tipo $f \in L^p$ quindi il problema non si pone. Qualora leggendo un libro saltasse fuori l'aggettivo "integrabile/sommabile" andrei comunque a cercare nelle notazioni/appendici etc che cosa l'autore intende con tale termine.
Ribadisco comunque quanto dicevo sopra: è per lo più questione di nomi. E alla fin fine (nel mio piccolo) ho sempre visto usare scritture del tipo $f \in L^p$ quindi il problema non si pone. Qualora leggendo un libro saltasse fuori l'aggettivo "integrabile/sommabile" andrei comunque a cercare nelle notazioni/appendici etc che cosa l'autore intende con tale termine.
Mah, la \(f\) del tuo esempio non ha né parte positiva né parte negativa integrabile (è solo integrabile in senso generalizzato alla Riemann); se si sta parlando di integrale di Lebesgue, in nessun senso io la considererei integrabile.
Il problema di fondo è che la mia preparazione in Teoria della misura è sostanzialmente da autodidatta, pertanto capita spesso che la mia visione delle cose sia un po' - come dire - "soggettiva". Siccome mi fido di te 
, se tu mi dici che non è un problema e non è errato affermare che quella $f$ non è Lebesgue integrabile allora ok, mi adeguo con piacere alla tua notazione.
Mi scuso perciò con Riccardo e con tutti per aver generato confusione.
, se tu mi dici che non è un problema e non è errato affermare che quella $f$ non è Lebesgue integrabile allora ok, mi adeguo con piacere alla tua notazione.Mi scuso perciò con Riccardo e con tutti per aver generato confusione.
Per carità, sai benissimo che in matematica non vale il principio di autorità.
Il mio punto di vista dipende dal fatto che, se pensi a come è definito in astratto l'integrale di Lebesgue (dunque su uno spazio di misura generico), non c'è posto per l'interpretazione come integrale di Riemann generalizzato.
Ciò non esclude il fatto che, in molte situazioni (ad esempio, quando stai pensando all'integrazione in campo complesso), la funzione \(f\) sia in effetti da considerarsi in qualche senso integrabile (ma non alla Lebesgue!).
Il mio punto di vista dipende dal fatto che, se pensi a come è definito in astratto l'integrale di Lebesgue (dunque su uno spazio di misura generico), non c'è posto per l'interpretazione come integrale di Riemann generalizzato.
Ciò non esclude il fatto che, in molte situazioni (ad esempio, quando stai pensando all'integrazione in campo complesso), la funzione \(f\) sia in effetti da considerarsi in qualche senso integrabile (ma non alla Lebesgue!).
Sì, ora capisco perfettamente il tuo punto di vista. Sono contento di aver fatto chiarezza una volta per tutte. Ti ringrazio.
Faccio capire in modo esplicito il mio punto di vista su queste definizioni/notazioni.
Parlo di integrabilità se almeno una tra la \( f^+ \) e \( f^- \) ammette integrale finito.
Parlo di sommabilità se entrambe la \( f^+ \) e la \( f^- \) ammettono integrale finito.
In entrambi i casi, l'integrale è ben definito come
\[ \int_E f\, \text{d}\mu = \int_E f^+\, \text{d}\mu - \int_E f^-\, \text{d}\mu \]
dove nel primo caso posso avere sia \( +\infty \) che \( -\infty \) (tali valori li ottengo rispettivamente quando è \( f^+ \) ad essere infinita e quando è \( f^- \) ad essere infinita).
Parlo di \( L^1(E) \) (ovviamente identificando tra di loro le funzioni uguali \( \mu \)-quasi ovunque) riferendomi all'insieme delle (classi di) funzioni assolutamente sommabili (e quindi sommabili) su \( E \).
Consideriamo a questo punto l'esempio di Paolo, ossia la funzione \( x \mapsto \frac{\sin x}{x} \). Dal momento che la funzione è continua nell'intervallo chiuso e illimitato \( [1, +\infty) \), allora posso applicare il teorema che dice che la funzione è sommabile (quindi ha integrale finito secondo Lebesgue) su \( [1, +\infty) \) se e solo se è assolutamente integrabile su \( [1, +\infty) \) secondo Riemann e dato che quest'ultima condizione non è soddisfatta, di sicuro \( x \mapsto \frac{\sin x}{x} \) non è sommabile su \( [1, +\infty) \) (e quindi neanche assolutamente sommabile su \( [1, +\infty) \), ossia non ha integrale del modulo finito secondo Lebesgue)).
Commenti?
Parlo di integrabilità se almeno una tra la \( f^+ \) e \( f^- \) ammette integrale finito.
Parlo di sommabilità se entrambe la \( f^+ \) e la \( f^- \) ammettono integrale finito.
In entrambi i casi, l'integrale è ben definito come
\[ \int_E f\, \text{d}\mu = \int_E f^+\, \text{d}\mu - \int_E f^-\, \text{d}\mu \]
dove nel primo caso posso avere sia \( +\infty \) che \( -\infty \) (tali valori li ottengo rispettivamente quando è \( f^+ \) ad essere infinita e quando è \( f^- \) ad essere infinita).
Parlo di \( L^1(E) \) (ovviamente identificando tra di loro le funzioni uguali \( \mu \)-quasi ovunque) riferendomi all'insieme delle (classi di) funzioni assolutamente sommabili (e quindi sommabili) su \( E \).
Consideriamo a questo punto l'esempio di Paolo, ossia la funzione \( x \mapsto \frac{\sin x}{x} \). Dal momento che la funzione è continua nell'intervallo chiuso e illimitato \( [1, +\infty) \), allora posso applicare il teorema che dice che la funzione è sommabile (quindi ha integrale finito secondo Lebesgue) su \( [1, +\infty) \) se e solo se è assolutamente integrabile su \( [1, +\infty) \) secondo Riemann e dato che quest'ultima condizione non è soddisfatta, di sicuro \( x \mapsto \frac{\sin x}{x} \) non è sommabile su \( [1, +\infty) \) (e quindi neanche assolutamente sommabile su \( [1, +\infty) \), ossia non ha integrale del modulo finito secondo Lebesgue)).
Commenti?
Mi sono documentato su un libro che sto leggendo per compilare una storiella che prima o poi dovrò decidere di inviare a Luca: il Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock.
La costruzione dell'integrale di Lebesgue detta sopra (usando somme integrali superiori ed inferiori) è valida solo per funzioni limitate sui compatti. Con questa restrizione, si prova che una funzione limitata su un compatto è integrabile secondo Lebesgue se e solo essa è misurabile e se e solo se il suo valore assoluto è integrabile.
Quindi, limitatamente alle funzioni limitate sui compatti, c'è sostanziale equivalenza tra integrabilità ed assoluta integrabilità.
Se si cerca di definire l'integrabilità secondo Lebesgue per le funzioni positive non limitate, il modo sensato per farlo è porre:
\[
\int_a^b f\ \text{d} \mathcal{L}^1 := \sup \left\{ \int_a^b u\ \text{d} \mathcal{L}^1,\ \text{con } u \text{ limitata ed integrabile t.c. } 0\leq u\leq f \text{ q.o.}\right\}
\]
e ciò comporta la definizione di funzione integrabile arbitraria che si è già detta (e che è riportata sul Rudin), i.e. \(f\) è integrabile se e solo se \(|f|\) è una funzione positiva integrabile secondo Lebesgue.
La costruzione dell'integrale di Lebesgue detta sopra (usando somme integrali superiori ed inferiori) è valida solo per funzioni limitate sui compatti. Con questa restrizione, si prova che una funzione limitata su un compatto è integrabile secondo Lebesgue se e solo essa è misurabile e se e solo se il suo valore assoluto è integrabile.
Quindi, limitatamente alle funzioni limitate sui compatti, c'è sostanziale equivalenza tra integrabilità ed assoluta integrabilità.
Se si cerca di definire l'integrabilità secondo Lebesgue per le funzioni positive non limitate, il modo sensato per farlo è porre:
\[
\int_a^b f\ \text{d} \mathcal{L}^1 := \sup \left\{ \int_a^b u\ \text{d} \mathcal{L}^1,\ \text{con } u \text{ limitata ed integrabile t.c. } 0\leq u\leq f \text{ q.o.}\right\}
\]
e ciò comporta la definizione di funzione integrabile arbitraria che si è già detta (e che è riportata sul Rudin), i.e. \(f\) è integrabile se e solo se \(|f|\) è una funzione positiva integrabile secondo Lebesgue.
"Riccardo Desimini":
allora posso applicare il teorema che dice che la funzione è sommabile (quindi ha integrale finito secondo Lebesgue) su \( [1, +\infty) \) se e solo se è assolutamente integrabile su \( [1, +\infty) \) secondo Riemann e dato che quest'ultima condizione non è soddisfatta, di sicuro \( x \mapsto \frac{\sin x}{x} \) non è sommabile su \( [1, +\infty) \) (e quindi neanche assolutamente sommabile su \( [1, +\infty) \), ossia non ha integrale del modulo finito secondo Lebesgue))?
Mi puoi dire dove c'è questo teorema? Non metto in dubbio che sia così, ma non lo trovo da nessuna parte.
Per quento riguarda il rapporto tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann generalizzato ho questa affermazione, da Royden-Real analysis: "L'integrale improprio, nel senso di Riemann, di una funzione può esistere senza che la funzione sia integrabile (nel senso di Lebesgue) ad es. $ f(x)=1/xsinx $ in
$ [0.oo ) $. Se f è integrabile ( nel senso di Lesbegue) l'integrale improrio di Riemann è uguale all'integrale di Lebesgue quando il primo (Lesbegue) esiste".
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