Lebesgue integrabilità di funzione paramentrica
Buoongiorno 
Posto un esercizio che faccio fatica a risolvere (credo sia da trovare il modo migliore di integrazione):
Ho la funzione:
\[ f_p=\frac{x^{1/3}}{(x^2+y^2)^p} \]
e mi chiedo per quali $p$ la funzione sia Lebesgue integrabile in $E$ ($f_p \inL (E)$) con:
\[ E=\{0 \leq y \leq x^4 \leq 1\} \]
Il passaggio in coordinate polari sembra complicare l'espressione dell'insieme $E$, pur "semplificando" l'espressione di $f_p$. Tuttavia, applicando il teorema di Tonelli in coordinate cartesiane ottengo:
\[ \int_E f_p = \int_0^1 (\int_0^{x^4}\frac{x^{1/3}}{(x^2+y^2)^p} dy)dx \]
che non saprei bene come risolvere...
Grazie mille in anticipo!
Posto un esercizio che faccio fatica a risolvere (credo sia da trovare il modo migliore di integrazione):
Ho la funzione:
\[ f_p=\frac{x^{1/3}}{(x^2+y^2)^p} \]
e mi chiedo per quali $p$ la funzione sia Lebesgue integrabile in $E$ ($f_p \inL (E)$) con:
\[ E=\{0 \leq y \leq x^4 \leq 1\} \]
Il passaggio in coordinate polari sembra complicare l'espressione dell'insieme $E$, pur "semplificando" l'espressione di $f_p$. Tuttavia, applicando il teorema di Tonelli in coordinate cartesiane ottengo:
\[ \int_E f_p = \int_0^1 (\int_0^{x^4}\frac{x^{1/3}}{(x^2+y^2)^p} dy)dx \]
che non saprei bene come risolvere...
Grazie mille in anticipo!
Risposte
L'insieme $E$ contiene anche i punti con $-1<= x <= 0$, però. 
Ad ogni buon conto, l'unico punto in cui c'è qualcosa da preoccuparsi è $(0,0)$ e, per la disparità dell'integrando, si può anche ragionare solo per $x>=0$.
"A occhio", nell'integrale potresti provare a fare il cambiamento di coordinate:
$\{(x = t), (y = mt):}$
che trasforma l'insieme $E nn \{ x> 0\}$ in $E' = \{ 0 < t <= 1, 0 <= m <= t^3\}$ ed ha jacobiano:
$(partial (x,y))/(partial (t,m)) =|(1, 0),(m, t)| = t$
l'integrale doppio si può scrivere:
$int_E f_p = lim_(epsilon -> 0) int_epsilon^1 [int_0^(t^3) t^(1/3)/(t^(2p) (1+m^2)^p) t\ "d" m]\ "d" t = lim_(epsilon -> 0) int_epsilon^1 t^(4/3 - 2p) [int_0^(t^3) 1/(1+m^2)^p\ "d" m]\ "d" t$
ed il problema mi sembra diventi un problema di sommabilità da Analisi I... Prova un po' a vedere se è una strada praticabile.
Ad ogni buon conto, l'unico punto in cui c'è qualcosa da preoccuparsi è $(0,0)$ e, per la disparità dell'integrando, si può anche ragionare solo per $x>=0$.
"A occhio", nell'integrale potresti provare a fare il cambiamento di coordinate:
$\{(x = t), (y = mt):}$
che trasforma l'insieme $E nn \{ x> 0\}$ in $E' = \{ 0 < t <= 1, 0 <= m <= t^3\}$ ed ha jacobiano:
$(partial (x,y))/(partial (t,m)) =|(1, 0),(m, t)| = t$
l'integrale doppio si può scrivere:
$int_E f_p = lim_(epsilon -> 0) int_epsilon^1 [int_0^(t^3) t^(1/3)/(t^(2p) (1+m^2)^p) t\ "d" m]\ "d" t = lim_(epsilon -> 0) int_epsilon^1 t^(4/3 - 2p) [int_0^(t^3) 1/(1+m^2)^p\ "d" m]\ "d" t$
ed il problema mi sembra diventi un problema di sommabilità da Analisi I... Prova un po' a vedere se è una strada praticabile.
Ciao JimmyBrighy,
Facendo uso di un cambiamento di variabili simile a quello già proposto da gugo82 e considerando appunto che l'unico punto critico è $O(0, 0) $, mi risulta che l'integrale proposto converge per $2p - 13/3 < 1 \iff p < 8/3 $
Facendo uso di un cambiamento di variabili simile a quello già proposto da gugo82 e considerando appunto che l'unico punto critico è $O(0, 0) $, mi risulta che l'integrale proposto converge per $2p - 13/3 < 1 \iff p < 8/3 $
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