Lebesgue e integrali in spazi di misura
Ciao a tutti, ho un dubbio.
L'integrale di Lebesgue è un caso particolare di integrale in un generico spazio di misura \( (X, \mathcal{F}, \mu) \)? Mi sembra di sì, dato che se scelgo per tale spazio la misura di Lebesgue \( \mu \) ottengo un integrale fatto secondo la misura di Lebesgue, ossia un integrale del tipo
\[ \int_X f\, \text{d}\mu \]
dove \( f : X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+ \) è una funzione misurabile.
Ora, quel che mi chiedo è: ma quando io parlo di integrale di Lebesgue, intendo dunque dire che sto lavorando su uno spazio di misura con assegnata la misura di Lebesgue?
L'integrale di Lebesgue è un caso particolare di integrale in un generico spazio di misura \( (X, \mathcal{F}, \mu) \)? Mi sembra di sì, dato che se scelgo per tale spazio la misura di Lebesgue \( \mu \) ottengo un integrale fatto secondo la misura di Lebesgue, ossia un integrale del tipo
\[ \int_X f\, \text{d}\mu \]
dove \( f : X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}_+ \) è una funzione misurabile.
Ora, quel che mi chiedo è: ma quando io parlo di integrale di Lebesgue, intendo dunque dire che sto lavorando su uno spazio di misura con assegnata la misura di Lebesgue?
Risposte
Mi pare si tratti di una questione di nomenclatura e nulla più, che ha a che fare con l'evoluzione storica della Teoria dell'Integrazione.
La costruzione astratta dell'integrale à la Lebesgue si può fare in uno spazio di misura arbitrario.
Ad esempio, nello spazio \(\mathbb{N}\) dotato della misura che conta, l'integrale à la Lebesgue della funzione \(a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) non è altro che la somma della serie \(\sum_{n=0}^\infty a(n)\), quando essa è assolutamente convergente.
D'altra parte, il vero e proprio integrale di Lebesgue è quello fatto per funzioni complesse di variabile reale rispetto alla misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}\); per intenderci, è l'integrale che introduce Lebesgue nella sua tesi di laurea Intégrale, Longueur, Aire (1902).
Ora, tutti i testi di Analisi Superiore non distinguono tra le due cose e chiamano integrale di Lebesgue anche quello fatto in un arbitrario spazio di misura.
La costruzione astratta dell'integrale à la Lebesgue si può fare in uno spazio di misura arbitrario.
Ad esempio, nello spazio \(\mathbb{N}\) dotato della misura che conta, l'integrale à la Lebesgue della funzione \(a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) non è altro che la somma della serie \(\sum_{n=0}^\infty a(n)\), quando essa è assolutamente convergente.
D'altra parte, il vero e proprio integrale di Lebesgue è quello fatto per funzioni complesse di variabile reale rispetto alla misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}\); per intenderci, è l'integrale che introduce Lebesgue nella sua tesi di laurea Intégrale, Longueur, Aire (1902).
Ora, tutti i testi di Analisi Superiore non distinguono tra le due cose e chiamano integrale di Lebesgue anche quello fatto in un arbitrario spazio di misura.
Ah ok, terrò presente questa cosa. Grazie gugo.
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