Lebesgue, dubbio su additività della misura

[materia]

salve a tutti, nelle dispense che ho di lebesgue, mi sembra che ci sia una contraddizione, in questo passo dice che la misura esterna è sub additiva, poi dice che se ho due insiemi disgiunti non è additiva e fornisce il controesempio di Banach
invece qua dice che la misura è additiva.
non ci capisco più niente...

[Rigel1]

La (1) può valere se gli insiemi non sono misurabili (ma sono sottoinsiemi qualsiasi).
La (numerabile) additività vale per gli insiemi misurabili.

[materia]

ok, sicuramente allora ho interpretato male la dimostrazione che se gli insiemi sono disgiunti non vale l'uguaglianza, perchè io ho pensato che se la dimostrazione la fa per assurdo, e con essa si giunge al paradosso di Banach, allora non esistono mai due insiemi in cui vale l'additività, sia misurabili che non... mentre invece penso che quello più che una dimostrazione per assurdo sia un controesempio. grazie

[Rigel1]

"materia":ok, sicuramente allora ho interpretato male la dimostrazione che se gli insiemi sono disgiunti non vale l'uguaglianza

Se gli insiemi \(E\) ed \(F\) sono "ben" disgiunti, nel senso che la loro distanza di Hausdorff è positiva, vale l'uguaglianza.
Analogamente, se \(E\) ed \(F\) sono disgiunti e misurabili, vale l'uguaglianza.

In generale vale la disuguaglianza, e in alcuni casi può valere la disuguaglianza stretta; ovviamente, in tal caso, non vale nessuna delle due situazioni descritte sopra.