[Lebesgue] convergenza quasi uniforme $=>$ convergenza puntuale $\mu -$q.o.

[lucia88]

Ciao e buon pomeriggio
Il quesito è quello riassunto nel titolo.
Ho uno spazio di misura $(X,B,\mu)$ e $f_n,f:X \to CC$ funzioni misurabili

$f_n \to f$ quasi uniformemente, cioè:
per ogni $E\in B$, $\mu(E)<\epsilon$ si ha che : $f_n \to f$ uniformemente su $E^c$

devo dimostrare la convergenza puntuale quasi ovunque su X.

Sul libro viene fatta così:

-su $E^c$ la convergenza puntuale è banale

-scelgo $\epsilon=\frac{1}{n}$ e sia $E=A_n$ quindi l'intersezione degli $A_n$ al variare di $n\inNN$ è l'insieme vuoto
Non riesco a capire questo quest'ultimo passaggio: perchè l'intersezione è l'insieme vuoto??
Ovviamente so $\mu(A_n)$ è una successione decrescente e quindi all'infinito si annulla... ma basta questo per assicurare che l'intersezione sia vuota?

[dissonance]

Cos'è $A_n$? Comunque a naso non arrivi a dire che l'intersezione è vuota ma che ha misura nulla.

[Plepp]

Non si capisce bene cosa intendi nell'ultimo passaggio dove tiri fuori gli $A_n$, ma immagino sia questo: la convergenza quasi uniforme implica che per ogni $n$ esiste un misurabile $A_n$ tale che $\mu(A_n)<1/n$ e $f_n\to f$ uniformemente in $X\setminus A_n$.

Di conseguenza, se $x\in X$ e $f_n(x)$ non converge, necessariamente $x\in \bigcap_n A_n$. Evidentemente $\bigcap_n A_n$ ha misura nulla, fine.