Lebesgue

[miuemia]

ciao a tutti...
in $L^{r}(0,1)$ considerare $f_{n}(t)=n^{1/p}\chi_{(0,1/n)}(t)$ dire per quali $r>=1$ risulta essere limitata?
$p$ è un numero reale fissato maggiore o uguale di uno.

[Luca.Lussardi]

Basta integrare $|f_n(t)|^r$ tra $0$ e $1$... è un conto abbastanza semplice.

[miuemia]

in quel modo si trovano gli L^r in cui converge oppure no?

[Luca.Lussardi]

Non avevi chiesto limitata?

[miuemia]

si ma credevo che fossero due richieste diverse. in quel modo che hai scritto non si controlla la convergenza in L^r?

[Luca.Lussardi]

$f_n$ è limitata in $L^r(0,1)$ se $\int_0^1|f_n(t)|^r dt

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[miuemia]

ah ok grazie mille...e se dovessi controllare la convergenza in L^infinito?? l'estremo superiore essenziale a me esce 1 quindi nn converge.. mi sbaglio?

[Luca.Lussardi]

Il sup non viene $n^(1/p)$? che comunque esplode....

[miuemia]

si scusa hai perfettamente ragione.. scusa ho un altro dubbio:
sia $g_{n}(t)=\chi_{[n,n+1)}(t)$ ho studiato la convergenza in $L^{p}(RR)$ ho che il $g_{n}$->0 per n->infinito e se calcolo $int_RR|g_n(t)|^p=1$ quindi non converge in nessun $L^p$ per p>=1. giusto?
ma l'estremo superiore essenziale non riesco a calcolarlo.

[Luca.Lussardi]

$g_n$ tende puntualmente ovunque a $0$, ma non converge in nessun $L^p$, e va bene. Quanto a $L^\infty$ l'estremo superiore essenziale vale $1$ ovviamente...

[miuemia]

perchè riesco sempre a trovare insiemi di misure non nulla in in cui $g_n=1$? e sono gli insiemi appunto $[n,n+1)$?
invece ho fatto bene con quest'altro esercizio sempre convergenza in $L^p(0,oo)$ di $f(x)=1/x^gamma$ per quali $gamma>0$ vi appartiene? a me risulta per nessun $gamma$ perchè su $(0,1)$ dovrei avere $gamma<1/p$ mentre su $(0,oo)$ ho $gamma>1/p$ e quindi ho per nessun $gamma$ è esatto il ragionamento?
scusa un pò di confusione con % e $

[Luca.Lussardi]

E' corretto.