Lebesgue
qualcuno mi sa dire se l'integrale di Lebesgue ha un qualche significato fisico?
grazie
grazie
Risposte
nessuno? 
In che senso "ha qualche significato fisico"?
L'integrale di Lebesgue ha lo stesso significato fisico di quello di Rieman (ad esempio fare l'integrale di Rieman della velocita' o quello di Lebesgue ha lo stesso significato). Cio' che cambia e' principalmente il modo in cui si sommano le funzioni. Poi c'e' tutto il discorso della misura di Lebesgue che e' molto piu' sofisticata di quella di Peano-Jordan che e' associata all'integrale di Rieman...
Se per "significato fisico" intendi una rappresentazione concreta del modo di sommare le funzioni nell'ottica di Lebesgue, riporto un esempio fatto dal mio prof. che, secondo me, chiarisce molto le cose.
Abbiamo 2 banchieri Rieman e Lebesgue che devono capire a quanto ammonta il totale delle monete nella cassaforte della banca.
Riaman divide le monete in mucchietti piu' o meno tutti con lo stesso numero di monete, senza stare a preoccuparsi di dividere le monete di diverso valore fra loro, calcola il valore di ciascun mucchietto e somma il tutto.
Lebesgue divide tutte le monete in mucchietti di monete tutte dello stesso valore (un mucchietto con tutte le monete da 5 centesimi uno con quelle da 10 etc...). Conta le monete in ciascun mucchietto, moltiplica per il valore e somma il tutto.
L'idea dell'integrale di Lebesgue e' quella di dividere il codominio della funzione e non il dominio per sommare la funzione moltiplicando il valore della funzione per la misura dell'insieme su cui la funzione assume quel valore...
Non so se ho risposto alla tua domanda, perche' non ho capito esattamente cio' che volevi sapere....
L'integrale di Lebesgue ha lo stesso significato fisico di quello di Rieman (ad esempio fare l'integrale di Rieman della velocita' o quello di Lebesgue ha lo stesso significato). Cio' che cambia e' principalmente il modo in cui si sommano le funzioni. Poi c'e' tutto il discorso della misura di Lebesgue che e' molto piu' sofisticata di quella di Peano-Jordan che e' associata all'integrale di Rieman...
Se per "significato fisico" intendi una rappresentazione concreta del modo di sommare le funzioni nell'ottica di Lebesgue, riporto un esempio fatto dal mio prof. che, secondo me, chiarisce molto le cose.
Abbiamo 2 banchieri Rieman e Lebesgue che devono capire a quanto ammonta il totale delle monete nella cassaforte della banca.
Riaman divide le monete in mucchietti piu' o meno tutti con lo stesso numero di monete, senza stare a preoccuparsi di dividere le monete di diverso valore fra loro, calcola il valore di ciascun mucchietto e somma il tutto.
Lebesgue divide tutte le monete in mucchietti di monete tutte dello stesso valore (un mucchietto con tutte le monete da 5 centesimi uno con quelle da 10 etc...). Conta le monete in ciascun mucchietto, moltiplica per il valore e somma il tutto.
L'idea dell'integrale di Lebesgue e' quella di dividere il codominio della funzione e non il dominio per sommare la funzione moltiplicando il valore della funzione per la misura dell'insieme su cui la funzione assume quel valore...
Non so se ho risposto alla tua domanda, perche' non ho capito esattamente cio' che volevi sapere....
allora seguendo l'esempio delle monete, jordan e quindi rieman implicano lebec perchè il primo non è ordinato ed il secondo si?
se è così allora il collegamento con il numero finito di intervalli e il numero infinito di intervalli numerabili, sta propio nel fatto che i primi non sono successione (quindi non hanno ordine) i secondi si (ed hanno ordine)?
se è così allora il collegamento con il numero finito di intervalli e il numero infinito di intervalli numerabili, sta propio nel fatto che i primi non sono successione (quindi non hanno ordine) i secondi si (ed hanno ordine)?
No, la misura di Lebesgue non c'entra qui. La definizione dell'integrale di Lebesgue fa uso della misura di Lebesgue, ma il modo di sommare la funzione non e' direttamente legato alla scelta della misura per gli insiemi.
Lebesgue conta le monete di un certo valore (ad esempio comincia contando quelle da 5 cent) poi moltiplica il valore (.05 euro) per la misura dell'insieme (il numero di monete), ma la misura dell'insieme non ha direttamente a che vedere con l'ordine in cui si contano le monete...
Lebesgue conta le monete di un certo valore (ad esempio comincia contando quelle da 5 cent) poi moltiplica il valore (.05 euro) per la misura dell'insieme (il numero di monete), ma la misura dell'insieme non ha direttamente a che vedere con l'ordine in cui si contano le monete...
Anche il mio prof ha fatto lo stesso esempio.
Lebesgue sposta il problema alla controimmagine del dominio.
Platone
Lebesgue sposta il problema alla controimmagine del dominio.
Platone
ti ringrazio David per la risposta, veramente carino l'esempio delle monete!
so anch'io che in meccanica classica integrare secondo Riemann o Lebesgue ha lo stesso significato... mi chiedevo se in qualche ambito fisico che studierò più avanti l'integrale riemanniano non fosse più sufficiente... riformulo la domanda: in qualche contesto fisico (MQ, TdC... boh!) si ha a che fare con funzioni (tipo funzione di Dirichlet) non Riemann-integrabili e per le quali è necessario chiedere aiuto a Lebesgue?
ciao
so anch'io che in meccanica classica integrare secondo Riemann o Lebesgue ha lo stesso significato... mi chiedevo se in qualche ambito fisico che studierò più avanti l'integrale riemanniano non fosse più sufficiente... riformulo la domanda: in qualche contesto fisico (MQ, TdC... boh!) si ha a che fare con funzioni (tipo funzione di Dirichlet) non Riemann-integrabili e per le quali è necessario chiedere aiuto a Lebesgue?
ciao
Purtroppo sono abbastanza ignorante in fisica, quindi... Piu' che altro l'integrale di Lebesgue e' uno strumento con cui si e' costruita tanta matematica, dalla teoria delle distribuzioni alla scala degli $L^p$, che, altrimenti, avrebbe richiesto pesanti ipotesi tecniche per garantire l'esistenza di tutti gli integrali in gioco e i vari risultati di convergenza o sarebbe stata impossibile da sviluppare...
Ad esempio tutta la teoria delle trasformate integrali trova il suo ambiente ideale negli spazi $L^p$. Senza integrale di Lebesgue, probabilmente, la teoria dei sistemi dinamici lineari sarebbe stata appesantita da numerosissime ipotesi supplementari in ogni suo risultato.....
Comunque credo che in fisica si senta l'utilita' di queste cose soprattutto quando si ha a che vedere con le EDP visto che l'ambiente ideale per studiarle e' quello dell'analisi funzionale e senza Lebesgue non avremmo gli spazi $L^p$ che sono un po' il mattoncino base....
Ad esempio tutta la teoria delle trasformate integrali trova il suo ambiente ideale negli spazi $L^p$. Senza integrale di Lebesgue, probabilmente, la teoria dei sistemi dinamici lineari sarebbe stata appesantita da numerosissime ipotesi supplementari in ogni suo risultato.....
Comunque credo che in fisica si senta l'utilita' di queste cose soprattutto quando si ha a che vedere con le EDP visto che l'ambiente ideale per studiarle e' quello dell'analisi funzionale e senza Lebesgue non avremmo gli spazi $L^p$ che sono un po' il mattoncino base....
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