Le Serie? Stabilire il carattere
Ciao ragazzi chi è così gentile che mi spiega come calcolare la convergenza o meno di queste serie?Grazie mille!
$\sum_{n=1}^infty [ - (5/4)^n+4^n/(n!)]$
$\sum_{n=1}^infty [1/sqrt n - (1/3)^(n+1)]$
Inoltre mi dice di trovare l'insieme dei numeri x apparteneti ad R per i quali le seguenti due serie sono entrambe convergenti:
$\sum_{n=1}^infty |x|^(n^2+3n)$
$\sum_{n=1}^infty n^(3x+1)*arctg(1/n^2)$
$\sum_{n=1}^infty [ - (5/4)^n+4^n/(n!)]$
$\sum_{n=1}^infty [1/sqrt n - (1/3)^(n+1)]$
Inoltre mi dice di trovare l'insieme dei numeri x apparteneti ad R per i quali le seguenti due serie sono entrambe convergenti:
$\sum_{n=1}^infty |x|^(n^2+3n)$
$\sum_{n=1}^infty n^(3x+1)*arctg(1/n^2)$
Risposte
Cosa hai provato per risolvere?
la prima non la capisco...sia la prima che la seconda la tratterei come serie telescopica, ma non ne sono sicuro...le altre due mi sembrano serie di potenza, ma la x non mi fa capire cosa fare
Ciao nerone80,
Dai su, un piccolo sforzo: partiamo dalle prime due che sono veramente molto semplici... Un suggerimento: non credo che non ti abbiano mai parlato della serie geometrica, della serie esponenziale (o anche della condizione necessaria per la convergenza di una serie...), della serie armonica e del confronto fra serie per stabilirne il comportamento...
Dai su, un piccolo sforzo: partiamo dalle prime due che sono veramente molto semplici... Un suggerimento: non credo che non ti abbiano mai parlato della serie geometrica, della serie esponenziale (o anche della condizione necessaria per la convergenza di una serie...), della serie armonica e del confronto fra serie per stabilirne il comportamento...
Scusate ma ultimamente ho avuto problemi di rete!
Dunque vi spiego il mio ragionamento per le prime 2...
1)
$\sum_{n=1}^infty [ - (5/4)^n+4^n/(n!)]$
il primo termine tende a divergere negativamente, mentre il secondo dovrebbe essere convergente, quindi il tutto dovrebbe divergere negativamente giusto?
2)
$\sum_{n=1}^infty [1/sqrt n - (1/3)^(n+1)]$
questa può essere scritta come
$\sum_{n=1}^infty [1/n^(1/2) - (1/3)^(n+1)]$
il cui primo termine è una serie armonica generalizzata (diverge), il secondo termine è una frazione minore di 1, quindi all'aumentare di n, tende a 0. Si può pertanto dire che la serie diverge?
Purtroppo per queste sotto, spero qualcuno mi dia una dritta, grazie!
$\sum_{n=1}^infty |x|^(n^2+3n)$
$\sum_{n=1}^infty n^(3x+1)*arctg(1/n^2)$
Dunque vi spiego il mio ragionamento per le prime 2...
1)
$\sum_{n=1}^infty [ - (5/4)^n+4^n/(n!)]$
il primo termine tende a divergere negativamente, mentre il secondo dovrebbe essere convergente, quindi il tutto dovrebbe divergere negativamente giusto?
2)
$\sum_{n=1}^infty [1/sqrt n - (1/3)^(n+1)]$
questa può essere scritta come
$\sum_{n=1}^infty [1/n^(1/2) - (1/3)^(n+1)]$
il cui primo termine è una serie armonica generalizzata (diverge), il secondo termine è una frazione minore di 1, quindi all'aumentare di n, tende a 0. Si può pertanto dire che la serie diverge?
Purtroppo per queste sotto, spero qualcuno mi dia una dritta, grazie!
$\sum_{n=1}^infty |x|^(n^2+3n)$
$\sum_{n=1}^infty n^(3x+1)*arctg(1/n^2)$
Ciao nerone80,
Bentornato! Allora...
1)
Sì, si tratta di una serie geometrica di ragione $frac{5}{4} > 1$, per cui è divergente.
Lo è: $\sum_{n = 0}^{+infty} frac{x^n}{n!} = e^x \implies 1 + \sum_{n = 1}^{+infty} frac{x^n}{n!} = e^x \implies 1 + \sum_{n = 1}^{+infty} frac{4^n}{n!} = e^4 \implies \sum_{n = 1}^{+infty} frac{4^n}{n!} = e^4 - 1$
2)
Questa in realtà è solo una condizione necessaria, ma non sufficiente per la convergenza. Ma $\sum_{n = 0}^{+infty} (frac{1}{3})^n$ è una serie geometrica di ragione $frac{1}{3} < 1$, per cui converge a $frac{1}{1 - 1/3} = frac{3}{2}$
Sì, positivamente questa volta...
3) Posto $a_n := |x|^{n^2 + 3n}$, per la condizione necessaria di convergenza delle serie deve aversi $a_n \to 0$ per $n \to +infty$, il che accade se e solo se $|x| < 1$.
4) Osservando che [tex]\arctan(1/n^2) \le 1/n^2[/tex], si ha:
$\sum_{n=1}^{+infty} n^{3x+1} \arctan(frac{1}{n^2}) \le \sum_{n=1}^{+infty} frac{n^{3x+1}}{n^2} = \sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^{2 - 3x - 1}}$
L'ultima scritta è una serie armonica generalizzata che converge se $2 - 3x - 1 > 1$, cioè se $x < 0$.
Bentornato! Allora...
1)
"nerone80":
il primo termine tende a divergere negativamente
Sì, si tratta di una serie geometrica di ragione $frac{5}{4} > 1$, per cui è divergente.
"nerone80":
mentre il secondo dovrebbe essere convergente
Lo è: $\sum_{n = 0}^{+infty} frac{x^n}{n!} = e^x \implies 1 + \sum_{n = 1}^{+infty} frac{x^n}{n!} = e^x \implies 1 + \sum_{n = 1}^{+infty} frac{4^n}{n!} = e^4 \implies \sum_{n = 1}^{+infty} frac{4^n}{n!} = e^4 - 1$
"nerone80":
quindi il tutto dovrebbe divergere negativamente giusto?
2)
"nerone80":
il cui primo termine è una serie armonica generalizzata (diverge)
"nerone80":
il secondo termine è una frazione minore di 1, quindi all'aumentare di $n$, tende a $0$
Questa in realtà è solo una condizione necessaria, ma non sufficiente per la convergenza. Ma $\sum_{n = 0}^{+infty} (frac{1}{3})^n$ è una serie geometrica di ragione $frac{1}{3} < 1$, per cui converge a $frac{1}{1 - 1/3} = frac{3}{2}$
"nerone80":
Si può pertanto dire che la serie diverge?
Sì, positivamente questa volta...
3) Posto $a_n := |x|^{n^2 + 3n}$, per la condizione necessaria di convergenza delle serie deve aversi $a_n \to 0$ per $n \to +infty$, il che accade se e solo se $|x| < 1$.
4) Osservando che [tex]\arctan(1/n^2) \le 1/n^2[/tex], si ha:
$\sum_{n=1}^{+infty} n^{3x+1} \arctan(frac{1}{n^2}) \le \sum_{n=1}^{+infty} frac{n^{3x+1}}{n^2} = \sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^{2 - 3x - 1}}$
L'ultima scritta è una serie armonica generalizzata che converge se $2 - 3x - 1 > 1$, cioè se $x < 0$.
Sempre utilissimi i vostri consigli,Grazie mille!
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