Le serie di potenze sono analitiche?
[Analisi Complessa]
Una funzione si dice analitica se comunque preso un punto del suo dominio, essa è sviluppabile in serie di potenze di centro questo punto in un intorno.
Domandandomi se una serie di potenze è analitica (cosa che si può garantire in altri modi, ma c'est la vie), ho provato a "maneggiare" una serie di potenze per cambiarne il centro.. Sia $z_0 $ nel disco di convergenza della serie di potenze.
$sum_(n=0)^(+oo) d_n z^n=sum_(n=0)^(+oo) d_n (z-z_0+z_0)^n=$
$sum_(n=0)^(+oo) d_n sum_(k=0)^n ((n),(k)) z_0^(n-k) (z-z_0)^k=sum_(n=0)^(+oo) sum_(k=0)^n ((n),(k)) z_0^(n-k) d_n (z-z_0)^k$
$=sum_(k=0)^(+oo) sum_(n=k)^(+oo) ((n),(k)) z_0^(n-k) d_n (z-z_0)^k$
Anzitutto: è legittimo l'ultimo passaggio fatto? L'ho visto "a occhio", con ragionamento intuitivo..come lo posso dimostrare?
A questo punto per completare la mia dimostrazione devo dimostrare che la serie $sum_(n=k)^(+oo) ((n),(k)) z_0^(n-k) d_n$ converge. Come posso fare? Il problema è che non so come gestire i vecchi coefficienti $d_n$..
Una funzione si dice analitica se comunque preso un punto del suo dominio, essa è sviluppabile in serie di potenze di centro questo punto in un intorno.
Domandandomi se una serie di potenze è analitica (cosa che si può garantire in altri modi, ma c'est la vie), ho provato a "maneggiare" una serie di potenze per cambiarne il centro.. Sia $z_0 $ nel disco di convergenza della serie di potenze.
$sum_(n=0)^(+oo) d_n z^n=sum_(n=0)^(+oo) d_n (z-z_0+z_0)^n=$
$sum_(n=0)^(+oo) d_n sum_(k=0)^n ((n),(k)) z_0^(n-k) (z-z_0)^k=sum_(n=0)^(+oo) sum_(k=0)^n ((n),(k)) z_0^(n-k) d_n (z-z_0)^k$
$=sum_(k=0)^(+oo) sum_(n=k)^(+oo) ((n),(k)) z_0^(n-k) d_n (z-z_0)^k$
Anzitutto: è legittimo l'ultimo passaggio fatto? L'ho visto "a occhio", con ragionamento intuitivo..come lo posso dimostrare?
A questo punto per completare la mia dimostrazione devo dimostrare che la serie $sum_(n=k)^(+oo) ((n),(k)) z_0^(n-k) d_n$ converge. Come posso fare? Il problema è che non so come gestire i vecchi coefficienti $d_n$..
Risposte
La domanda Le serie di potenze sono analitiche? è formulata male; al massimo ha senso la domanda La somma di una serie di potenze convergente è analitica secondo la definizione data?. 
La risposta, ovviamente, è Sì.
La dimostrazione procede come hai pensato tu Gaal, ma all'inverso (cioè partendo da $\sum a_n*(z-z_0)^n$ e cercando di ricondursi ad una serie con centro in $0$ $\sum b_n*z^n$): ti prometto che se non riesci a sciogliere questo nodo, entro stasera ti posto la dimostrazione (ora non posso perchè devo andare a studiare in facoltà).
Suggerimenti: a) Il punto $z_0$ va scelto sufficientemente vicino a $0$ (diciamo che se l'elemento analitico di $f$ in $0$ ha raggio di convergenza $R>0$, bisogna prendere $z_0$ interno al cubetto di centro $0$ e semispigolo $R/4$); b) per passare da $\sum a_n*(z-z_0)^n$ a $\sum b_n*z^n$ bisogna invertire due sommatorie; c) per garantire la convergenza della nuova serie di potenze basta muoversi dentro un cubetto di centro $z_0$ e semispigolo $R/8$.
La risposta, ovviamente, è Sì.
La dimostrazione procede come hai pensato tu Gaal, ma all'inverso (cioè partendo da $\sum a_n*(z-z_0)^n$ e cercando di ricondursi ad una serie con centro in $0$ $\sum b_n*z^n$): ti prometto che se non riesci a sciogliere questo nodo, entro stasera ti posto la dimostrazione (ora non posso perchè devo andare a studiare in facoltà).
Suggerimenti: a) Il punto $z_0$ va scelto sufficientemente vicino a $0$ (diciamo che se l'elemento analitico di $f$ in $0$ ha raggio di convergenza $R>0$, bisogna prendere $z_0$ interno al cubetto di centro $0$ e semispigolo $R/4$); b) per passare da $\sum a_n*(z-z_0)^n$ a $\sum b_n*z^n$ bisogna invertire due sommatorie; c) per garantire la convergenza della nuova serie di potenze basta muoversi dentro un cubetto di centro $z_0$ e semispigolo $R/8$.
"gugo82":
La dimostrazione procede come hai pensato tu Gaal, ma all'inverso (cioè partendo da $\sum a_n*(z-z_0)^n$ e cercando di ricondursi ad una serie con centro in $0$ $\sum b_n*z^n$)
Perchè? Mi sembra equivalente.
a)E così puoi eliminare il "problema" di prendere lo $z_0$ vicino a zero.
Ma del resto non dovrebbe essere possibile prenderlo in ogni punto nel disco di convergenza?
b)si, mi domandavo se fosse corretto il mio scambio..
c) infatti avevo problemi nel garantire la convergenza della nuova serie.. in realtà (come già detto) non so ancora se i coefficienti sono determinati..
Come promesso mi rifaccio vivo...anche se con un po' di ritardo perchè la mia magra amica Alice è ingrassata tutta d'un botto ieri sera (gioco di parole degno di amel ).
Ovviamente una serie di potenze nel campo complesso equivale a due serie di potenze in due variabili reali, quindi basterà risolvere il problema per serie di potenze in due o più variabili reali.
Fissiamo $n in NN,nge2$ e mostriamo il seguente fatto (se non sei pratico della notazione con i multiindici ti consiglio di leggere prima le note a pie' di post):
Innanzitutto notiamo che, per essere $f$ analitica in $0$, esiste una serie di potenze $\sum a_alpha*x^alpha$ che converge verso $f$ in una sfera aperta $B(0;r)$ contenuta in $A$: ne consegue che esiste un cubetto aperto $K(0;L)$ con centro in $0$ e semispigolo $L>0$ tutto contenuto in $A$ nel quale risulti identicamente $f(x)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*x^alpha$ (ad esempio si può prendere $Lle r/sqrtn$ cosicché $K(0;L)subseteq K(0;r/sqrtn) subset B(0;r)subseteq A$), con convergenza totale in ogni sottoinsieme di $K(0;L)$ garantita dalla maggiorazione:
(*) $quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*|x|^alpha le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*L^|alpha| le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*(r/sqrtn)^|alpha|<+oo quad$
valida per ogni $x in K(0;L)$ (ricordo che il raggio di convergenza di una serie di potenze $n$-upla è caratterizzato dalla seguente proprietà estremale: $r="sup"{Rge 0: quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*R^|alpha|<+oo}$ e che $r/sqrtn in [0,r[$).
Ebbene poniamo $U=K(0;L/4)$ e mostriamo che $U$ gode delle proprietà dell'enunciato del teorema.
Fissiamo arbitrariamente $barx in U$: ricordando la definizione della potenza $n$-upla simbolica e lo sviluppo del binomio di Newton, per ogni fissato $x in K(barx;L/8)subset K(0;L)$ possiamo scrivere:
a) $quad f(x)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*x^alpha=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*[(x-barx)+barx]^alpha=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n [(x-barx)+barx]^(alpha_i)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i)((alpha_i),(beta_i))*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)$
e fin qui tutto facile perchè si tratta di manipolazioni algebriche.
Ora vogliamo eliminare il prodotto che figura all'ultimo membro della precedente in modo da scrivere $f(x)$ come somma su due multiindici per i quali proveremo lecito lo scambio dell'ordine di sommazione (ricorda che, ad esempio, se hai una serie doppia $\sum c_(n,m)$ le due somme $\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(m=0)^(+oo) c_(n,m)$ e $\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(m=0)^(+oo) c_(n,m)$ anche ammesso che esistano finite non è detto che siano uguali: perciò è importante stabilire se l'ordine di sommazione è indifferente per una serie multipla!).
Per eliminare il prodotto introduciamo il multiindice $beta=(beta_1,\ldots ,beta_n) in NN^n$ e poniamo:
$AA i in {1,\ldots ,n},quad C_(beta_i)^(alpha_i)=\{(((alpha_i),(beta_i)), ", se "beta_i le alpha_i),(0, ", se " beta_i>alpha_i):} quad$,
in modo che l'ultimo membro della a) diviene:
b) $quad\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i)((alpha_i),(beta_i))*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta in NN^n) C_(beta_i)^(alpha_i)*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha *\prod_(i=0)^n C_(beta_i)^(alpha_i)*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)$
(nota che l'inversione della sommatoria su $beta$ e della produttoria su $i$ è lecita); definendo:
$AA alpha, beta in NN^n, quad C_beta^alpha=\prod_(i=1)^n C_(beta_i)^(alpha_i)$
gli addendi che figurano nell'ultimo membro di b) si possono esprimere come potenze simboliche per la proprietà associativa del prodotto (applicata alla produttoria):
c) $quad \sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*\prod_(i=0)^n C_(beta_i)^(alpha_i)*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*\prod_(i=0)^n C_(beta_i)^(alpha_i)*\prod_(i=0)^n (x-barx)^(beta_i)*\prod_(i=0)^nbarx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*C_(beta)^(alpha)*(x-barx)^(beta)*barx^(alpha-beta)$.
Mettendo insieme le a, b, c) concludiamo che la $f$ è suscettibile della seguente rappresentazione come somma di una serie $2n$-upla nei punti di $K(barx;L/8)$:
d) $quad f(x)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*C_(beta)^(alpha)*(x-barx)^(beta)*barx^(alpha-beta) quad$.
Fine prima parte.
______________
Note sui multiindici e sulle potenze simboliche:
Si chiama multiindice d'ordine $n$ un qualunque elemento dell'insieme $alpha=(alpha_1,\ldots, alpha_n) in NN^n$ (in $NN$ intendo compreso lo $0$); fissato un multiindice $alpha$ d'ordine $n$, i numeri $\sum_(i=1)^n alpha_i$ e $\prod_(i=1)^n alpha_i!$ si chiamano rispettivamente lunghezza e fattoriale di $alpha$ e si denotano con $|alpha|$ ed $alpha!$.
Fissato un multiindice $alpha$ d'ordine $n$, comunque si scelga $y=(y_1,\ldots , y_n) in RR^n$, il numero reale $\prod_(i=1)^n y_i^(alpha_i)$ si chiama potenza $alpha$-esima simbolica di $y$ e si denota col simbolo $y^alpha$.
Dalla stessa definizione della potenza simbolica segue la disuguaglianza:
$|y^alpha|le (max{|y_1|,\ldots,|y_n|})^(|alpha|) quad$,
pertanto risulta:
$AA yin K(0;L):={y in RR^n: |y_1|
Il formalismo dei multiindici e delle potenze simboliche aiuta ad esprimere sinteticamente le serie di potenze in $RR^n$: una serie di potenze con coefficienti $a_(alpha_1,\ldots ,alpha_n)$ e con centro in $bary=(bary_1,\ldots ,bary_n)$ che solitamente si scrive:
$\sum_(alpha_1,\ldots ,alpha_n in NN) a_(alpha_1,\ldots ,alpha_n)*(y_1-bary_1)^(alpha_1)*\ldots *(y_n-bary_n)^(alpha_n)$
viene espressa nel nuovo formalismo semplicemente come $\sum_(alpha) a_alpha*(y-bary)^alpha$.
Analogamente, l'introduzione dei multiindici semplifica la notazione delle derivate successive: fissato $alpha=(alpha_1,\ldots ,alpha_n) in NN^n$, il simbolo $(\partial^alpha f)/(\partial x^alpha)$, o semplicemente $D^alpha f$, viene usato per denotare la derivata parziale di $f$ d'ordine $|alpha|$ fatta come segue $(\partial^(|alpha|)f)/(\partial x_1^(alpha_1) \ldots \partial x_n^(alpha_n))$.
).Ovviamente una serie di potenze nel campo complesso equivale a due serie di potenze in due variabili reali, quindi basterà risolvere il problema per serie di potenze in due o più variabili reali.
Fissiamo $n in NN,nge2$ e mostriamo il seguente fatto (se non sei pratico della notazione con i multiindici ti consiglio di leggere prima le note a pie' di post):
Siano $Asubseteq RR^n$un aperto contenente $0$ ed $f:Ato RR$ una funzione analitica in $0$.
Esiste un intorno aperto $U$ di $0$ tale che comunque si fissi un punto $barx in U$ la $f$ è analitica in $barx$; in altre parole, in corrispondenza di $barx$ esiste una successione $n$-upla $(b_alpha)_(alpha in NN^n)subset RR$ tale che:
1) la serie di potenze $\sum b_alpha*(x-barx)^alpha$ ha raggio di convergenza $rho>0$;
2) $AA x in B(barx;rho)cap U,quad f(x)=\sum_(alpha in NN^n) b_alpha (x-barx)^alpha$.
Innanzitutto notiamo che, per essere $f$ analitica in $0$, esiste una serie di potenze $\sum a_alpha*x^alpha$ che converge verso $f$ in una sfera aperta $B(0;r)$ contenuta in $A$: ne consegue che esiste un cubetto aperto $K(0;L)$ con centro in $0$ e semispigolo $L>0$ tutto contenuto in $A$ nel quale risulti identicamente $f(x)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*x^alpha$ (ad esempio si può prendere $Lle r/sqrtn$ cosicché $K(0;L)subseteq K(0;r/sqrtn) subset B(0;r)subseteq A$), con convergenza totale in ogni sottoinsieme di $K(0;L)$ garantita dalla maggiorazione:
(*) $quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*|x|^alpha le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*L^|alpha| le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*(r/sqrtn)^|alpha|<+oo quad$
valida per ogni $x in K(0;L)$ (ricordo che il raggio di convergenza di una serie di potenze $n$-upla è caratterizzato dalla seguente proprietà estremale: $r="sup"{Rge 0: quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*R^|alpha|<+oo}$ e che $r/sqrtn in [0,r[$).
Ebbene poniamo $U=K(0;L/4)$ e mostriamo che $U$ gode delle proprietà dell'enunciato del teorema.
Fissiamo arbitrariamente $barx in U$: ricordando la definizione della potenza $n$-upla simbolica e lo sviluppo del binomio di Newton, per ogni fissato $x in K(barx;L/8)subset K(0;L)$ possiamo scrivere:
a) $quad f(x)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*x^alpha=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*[(x-barx)+barx]^alpha=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n [(x-barx)+barx]^(alpha_i)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i)((alpha_i),(beta_i))*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)$
e fin qui tutto facile perchè si tratta di manipolazioni algebriche.
Ora vogliamo eliminare il prodotto che figura all'ultimo membro della precedente in modo da scrivere $f(x)$ come somma su due multiindici per i quali proveremo lecito lo scambio dell'ordine di sommazione (ricorda che, ad esempio, se hai una serie doppia $\sum c_(n,m)$ le due somme $\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(m=0)^(+oo) c_(n,m)$ e $\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(m=0)^(+oo) c_(n,m)$ anche ammesso che esistano finite non è detto che siano uguali: perciò è importante stabilire se l'ordine di sommazione è indifferente per una serie multipla!).
Per eliminare il prodotto introduciamo il multiindice $beta=(beta_1,\ldots ,beta_n) in NN^n$ e poniamo:
$AA i in {1,\ldots ,n},quad C_(beta_i)^(alpha_i)=\{(((alpha_i),(beta_i)), ", se "beta_i le alpha_i),(0, ", se " beta_i>alpha_i):} quad$,
in modo che l'ultimo membro della a) diviene:
b) $quad\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i)((alpha_i),(beta_i))*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta in NN^n) C_(beta_i)^(alpha_i)*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha *\prod_(i=0)^n C_(beta_i)^(alpha_i)*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)$
(nota che l'inversione della sommatoria su $beta$ e della produttoria su $i$ è lecita); definendo:
$AA alpha, beta in NN^n, quad C_beta^alpha=\prod_(i=1)^n C_(beta_i)^(alpha_i)$
gli addendi che figurano nell'ultimo membro di b) si possono esprimere come potenze simboliche per la proprietà associativa del prodotto (applicata alla produttoria):
c) $quad \sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*\prod_(i=0)^n C_(beta_i)^(alpha_i)*(x-barx)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*\prod_(i=0)^n C_(beta_i)^(alpha_i)*\prod_(i=0)^n (x-barx)^(beta_i)*\prod_(i=0)^nbarx^(alpha_i-beta_i)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*C_(beta)^(alpha)*(x-barx)^(beta)*barx^(alpha-beta)$.
Mettendo insieme le a, b, c) concludiamo che la $f$ è suscettibile della seguente rappresentazione come somma di una serie $2n$-upla nei punti di $K(barx;L/8)$:
d) $quad f(x)=\sum_(alpha in NN^n)\sum_(beta in NN^n) a_alpha*C_(beta)^(alpha)*(x-barx)^(beta)*barx^(alpha-beta) quad$.
Fine prima parte.
______________
Note sui multiindici e sulle potenze simboliche:
Si chiama multiindice d'ordine $n$ un qualunque elemento dell'insieme $alpha=(alpha_1,\ldots, alpha_n) in NN^n$ (in $NN$ intendo compreso lo $0$); fissato un multiindice $alpha$ d'ordine $n$, i numeri $\sum_(i=1)^n alpha_i$ e $\prod_(i=1)^n alpha_i!$ si chiamano rispettivamente lunghezza e fattoriale di $alpha$ e si denotano con $|alpha|$ ed $alpha!$.
Fissato un multiindice $alpha$ d'ordine $n$, comunque si scelga $y=(y_1,\ldots , y_n) in RR^n$, il numero reale $\prod_(i=1)^n y_i^(alpha_i)$ si chiama potenza $alpha$-esima simbolica di $y$ e si denota col simbolo $y^alpha$.
Dalla stessa definizione della potenza simbolica segue la disuguaglianza:
$|y^alpha|le (max{|y_1|,\ldots,|y_n|})^(|alpha|) quad$,
pertanto risulta:
$AA yin K(0;L):={y in RR^n: |y_1|
Il formalismo dei multiindici e delle potenze simboliche aiuta ad esprimere sinteticamente le serie di potenze in $RR^n$: una serie di potenze con coefficienti $a_(alpha_1,\ldots ,alpha_n)$ e con centro in $bary=(bary_1,\ldots ,bary_n)$ che solitamente si scrive:
$\sum_(alpha_1,\ldots ,alpha_n in NN) a_(alpha_1,\ldots ,alpha_n)*(y_1-bary_1)^(alpha_1)*\ldots *(y_n-bary_n)^(alpha_n)$
viene espressa nel nuovo formalismo semplicemente come $\sum_(alpha) a_alpha*(y-bary)^alpha$.
Analogamente, l'introduzione dei multiindici semplifica la notazione delle derivate successive: fissato $alpha=(alpha_1,\ldots ,alpha_n) in NN^n$, il simbolo $(\partial^alpha f)/(\partial x^alpha)$, o semplicemente $D^alpha f$, viene usato per denotare la derivata parziale di $f$ d'ordine $|alpha|$ fatta come segue $(\partial^(|alpha|)f)/(\partial x_1^(alpha_1) \ldots \partial x_n^(alpha_n))$.
"Gaal Dornick":
[quote="gugo82"]La dimostrazione procede come hai pensato tu Gaal, ma all'inverso (cioè partendo da $\sum a_n*(z-z_0)^n$ e cercando di ricondursi ad una serie con centro in $0$ $\sum b_n*z^n$)
Perchè? Mi sembra equivalente.[/quote]
Scusa ho sbagliato... ieri ho scritto di fretta che stavo scendendo di casa.
La dimostrazione va impostata come dicevi tu.
"Gaal Dornick":
a)E così puoi eliminare il "problema" di prendere lo $z_0$ vicino a zero.
Ma del resto non dovrebbe essere possibile prenderlo in ogni punto nel disco di convergenza?
L'analiticità è una proprietà locale, non globale: quindi basta prendere $z_0$ in un opportuno intorno di $0$, non importa se tale intorno coincide con tutto il cerchio di convergenza.
"Gaal Dornick":
b)si, mi domandavo se fosse corretto il mio scambio..
c) infatti avevo problemi nel garantire la convergenza della nuova serie.. in realtà (come già detto) non so ancora se i coefficienti sono determinati..
Lo scambio è corretto, ma entro certi limiti: essendo serie doppie non puoi scambiare gli ordini di sommazione se prima non hai verificato l'assoluta convergenza da qualche parte intorno a $z_0$.
Facciamo vedere che, $AA x in K(barx;L/8)$, la serie numerica $2n$-upla la cui somma figura al secondo membro di d) è convergente come serie $2n$-upla, ossia che è convergente assolutamente la successione di somme parziali calcolata secondo un fissato metodo di sommazione.
Visto come al secondo membro di d) abbiamo la somma calcolata prima sommando su $beta$ e poi su $alpha$, per acquisire la convergenza come serie $2n$-upla di $\sum_(alpha,beta) a_alpha*C_beta^alpha*(x-barx)^beta*x^(alpha-beta)$ basta far vedere che la convergenza del secondo membro di d) è assoluta per ogni fissato $x in K(barx:L/8)$.
Ripercorrendo a ritroso i passaggi fino all'ultimo membro di a), il secondo membro di d) è uguale a:
$\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*(x_i-barx_i)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i) quad$,
onde la serie dei valori assoluti dei termini di $\sum_(alpha,beta) a_alpha*C_beta^alpha*(x-barx)^beta*x^(alpha-beta)$ secondo il metodo di sommazione adottato è data da:
$\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) quad$.
Fissati $alpha,beta in NN^n$, ricordando che $x in K(barx;L/8):={x in RR^n:quad |x_1-barx_1|
$\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*(L/8)^(beta_i)*(L/4)^(alpha_i-beta_i) quad =>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*L^(alpha_i)*1/(2^(beta_i)*4^(beta_i))*1/4^(alpha_i-beta_i) quad =>$
$quad =>quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*L^(alpha_i)*1/2^(beta_i)*1/4^(alpha_i) quad$;
visto che i fattori $L^(alpha_i), 1/4^(alpha_i)$ non dipendono dall'indice $beta_i$ possono essere portati fuori dal simbolo sommatorio: così facendo, la maggiorazione trovata in precedenza si trasforma in:
$\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*1/4^(alpha_i)*\sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))1/2^(beta_i) quad =>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*1/4^(alpha_i)*(1+1/2)^(alpha_i) quad=>$
$quad =>quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*1/4^(alpha_i)*(3/2)^(alpha_i) quad=>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*(3/8)^(alpha_i)le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i) quad =>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*L^(|alpha|) quad$,
e l'ultimo membro è convergente perchè maggiorato dalla serie $n$-upla convergente $\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*r^(|alpha|)$.
Ne consegue che la serie $2n$-upla $\sum_(alpha,beta) a_alpha*C_beta^alpha*(x-barx)^beta*x^(alpha-beta)$ è convergentee che la sua somma può calcolarsi sommando con un qualunque metodo di sommazione.
Ciò implica che l'ordine delle due sommatorie al secondo membro di d) può essere scambiato: operando in tal modo dalla d) si ricava facilmente:
f) $quad f(x)=\sum_(beta in NN^n) \sum_(alpha in NN^n) a_alpha*C_beta^alpha*barx^(alpha-beta)*(x-barx)^(beta) quad$,
valida per $x in K(barx; L/8)$; però, posto:
$AA beta in NN^n, quad b_beta=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*C_beta^alpha*barx^(alpha-beta) quad$,
la relazione f) si può mettere nella forma:
g) $quad f(x)=\sum_(beta in NN^n) b_beta*(x-barx)^(beta) quad$.
La g) ci dice che la $f$ è somma di una serie di potenze intorno a $barx in U$ (la convergenza del secondo membro di g) è assicurata, per costruzione, almeno in $B(barx;L/8) subset K(barx;L/8)$).
Data l'arbitrarietà nella scelta di $barx$ in $U$, da quanto finora mostrato discende l'analiticità di $f$ nell'intorno $U$ di $0$, che è quel che volevamo.
In particolare, vorrei farti notare che i coefficienti $b_beta$ dello sviluppo in serie di $f$ che figura in g) sono proprio i coefficienti di Taylor di $f$ calcolati usando le espressioni delle derivate di $f$ in $barx$ ottenuti derivando termine a termine lo sviluppo con centro in $0$: infatti il coefficiente di Taylor di $f$ in $barx$ corrispondente al multiindice $beta$ calcolato derivando t.a.t. lo sviluppo $\sum_alpha a_alpha*x^alpha$ è dato da:
$1/(beta!)*(\partial^beta f)/(\partial x^beta)(barx)=1/(beta!)*\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*(alpha!)/((alpha-beta)!)*barx^(alpha-beta)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*(alpha!)/(beta!*(alpha-beta)!)*barx^(alpha-beta)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*C_beta^alpha*barx^(alpha-beta) quad$.
Bello, vero?
Si accettano lamentele per la lunghezza dei miei due post!
Visto come al secondo membro di d) abbiamo la somma calcolata prima sommando su $beta$ e poi su $alpha$, per acquisire la convergenza come serie $2n$-upla di $\sum_(alpha,beta) a_alpha*C_beta^alpha*(x-barx)^beta*x^(alpha-beta)$ basta far vedere che la convergenza del secondo membro di d) è assoluta per ogni fissato $x in K(barx:L/8)$.
Ripercorrendo a ritroso i passaggi fino all'ultimo membro di a), il secondo membro di d) è uguale a:
$\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*(x_i-barx_i)^(beta_i)*barx^(alpha_i-beta_i) quad$,
onde la serie dei valori assoluti dei termini di $\sum_(alpha,beta) a_alpha*C_beta^alpha*(x-barx)^beta*x^(alpha-beta)$ secondo il metodo di sommazione adottato è data da:
$\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) quad$.
Fissati $alpha,beta in NN^n$, ricordando che $x in K(barx;L/8):={x in RR^n:quad |x_1-barx_1|
$\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*(L/8)^(beta_i)*(L/4)^(alpha_i-beta_i) quad =>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*L^(alpha_i)*1/(2^(beta_i)*4^(beta_i))*1/4^(alpha_i-beta_i) quad =>$
$quad =>quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*L^(alpha_i)*1/2^(beta_i)*1/4^(alpha_i) quad$;
visto che i fattori $L^(alpha_i), 1/4^(alpha_i)$ non dipendono dall'indice $beta_i$ possono essere portati fuori dal simbolo sommatorio: così facendo, la maggiorazione trovata in precedenza si trasforma in:
$\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*1/4^(alpha_i)*\sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))1/2^(beta_i) quad =>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*1/4^(alpha_i)*(1+1/2)^(alpha_i) quad=>$
$quad =>quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*1/4^(alpha_i)*(3/2)^(alpha_i) quad=>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i)*(3/8)^(alpha_i)le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n L^(alpha_i) quad =>$
$quad => quad \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*\prod_(i=1)^n \sum_(beta_i=0)^(alpha_i) ((alpha_i),(beta_i))*|x_i-barx_i|^(beta_i)*|barx|^(alpha_i-beta_i) le \sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*L^(|alpha|) quad$,
e l'ultimo membro è convergente perchè maggiorato dalla serie $n$-upla convergente $\sum_(alpha in NN^n) |a_alpha|*r^(|alpha|)$.
Ne consegue che la serie $2n$-upla $\sum_(alpha,beta) a_alpha*C_beta^alpha*(x-barx)^beta*x^(alpha-beta)$ è convergentee che la sua somma può calcolarsi sommando con un qualunque metodo di sommazione.
Ciò implica che l'ordine delle due sommatorie al secondo membro di d) può essere scambiato: operando in tal modo dalla d) si ricava facilmente:
f) $quad f(x)=\sum_(beta in NN^n) \sum_(alpha in NN^n) a_alpha*C_beta^alpha*barx^(alpha-beta)*(x-barx)^(beta) quad$,
valida per $x in K(barx; L/8)$; però, posto:
$AA beta in NN^n, quad b_beta=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*C_beta^alpha*barx^(alpha-beta) quad$,
la relazione f) si può mettere nella forma:
g) $quad f(x)=\sum_(beta in NN^n) b_beta*(x-barx)^(beta) quad$.
La g) ci dice che la $f$ è somma di una serie di potenze intorno a $barx in U$ (la convergenza del secondo membro di g) è assicurata, per costruzione, almeno in $B(barx;L/8) subset K(barx;L/8)$).
Data l'arbitrarietà nella scelta di $barx$ in $U$, da quanto finora mostrato discende l'analiticità di $f$ nell'intorno $U$ di $0$, che è quel che volevamo.
In particolare, vorrei farti notare che i coefficienti $b_beta$ dello sviluppo in serie di $f$ che figura in g) sono proprio i coefficienti di Taylor di $f$ calcolati usando le espressioni delle derivate di $f$ in $barx$ ottenuti derivando termine a termine lo sviluppo con centro in $0$: infatti il coefficiente di Taylor di $f$ in $barx$ corrispondente al multiindice $beta$ calcolato derivando t.a.t. lo sviluppo $\sum_alpha a_alpha*x^alpha$ è dato da:
$1/(beta!)*(\partial^beta f)/(\partial x^beta)(barx)=1/(beta!)*\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*(alpha!)/((alpha-beta)!)*barx^(alpha-beta)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*(alpha!)/(beta!*(alpha-beta)!)*barx^(alpha-beta)=\sum_(alpha in NN^n) a_alpha*C_beta^alpha*barx^(alpha-beta) quad$.
Bello, vero?
Si accettano lamentele per la lunghezza dei miei due post!
"gugo82":
Si accettano lamentele per la lunghezza dei miei due post!
In effetti le tue risposte spesso sono lunghissime..
"franced":
[quote="gugo82"]Si accettano lamentele per la lunghezza dei miei due post!
In effetti le tue risposte spesso sono lunghissime..[/quote]
E sono anche estremamente istruttive!
Wow, che dimostrazione!
Ma dove le hai imparate queste cose??
Guarda che mi offendo, eh!
Ma dove le hai imparate queste cose??
"gugo82":
Come promesso mi rifaccio vivo...anche se con un po' di ritardo perchè la mia magra amica Alice è ingrassata tutta d'un botto ieri sera (gioco di parole degno di amel
Guarda che mi offendo, eh!
"Sandokan.":
[quote="franced"][quote="gugo82"]Si accettano lamentele per la lunghezza dei miei due post!
In effetti le tue risposte spesso sono lunghissime..[/quote]
E sono anche estremamente istruttive![/quote]
"amel":
Wow, che dimostrazione!
Grazie per i complimenti.
"amel":
Ma dove le hai imparate queste cose??
Sembra scontato, ma le ho imparate all'università.
Il corso era Analisi Superiore mod. A, corso sulle EDP del primo ordine con cenni su quelle del secondo (riduzione a forma canonica degli operatori del second'ordine, soluzione dell'eq. del calore in $RRtimes [0,+oo[$...): quel po' di teoria delle funzioni analitiche che conosco, compresa questa dimostrazione, è stata sviluppata prima dell'enunciato del Teorema di Cauchy-Kovalevskaya.
Per la dimostrazione in sé non ho un riferimento bibliografico certo, altrimenti avrei rimandato a quello (forse si può vedere Evans, Partial Differential Equations), perciò ho copiato integralmente la dimostrazione che avevo nei miei quaderni di appunti.
"amel":
[quote="gugo82"]Come promesso mi rifaccio vivo...anche se con un po' di ritardo perchè la mia magra amica Alice è ingrassata tutta d'un botto ieri sera (gioco di parole degno di amel
Guarda che mi offendo, eh!
[/quote]Spiego la frase per chi non l'avesse ancora capita:
la mia amica Alice = ovviamente la linea adsl Telecom;
magra = gioca sia sul nome Alice sia sul fatto che ho un abbonamento flat;
è ingrassata tutta d'un botto ieri sera = ieri sera, all'improvviso, ha avuto problemi di linea.
"gugo82":
Spiego la frase per chi non l'avesse ancora capita:
la mia amica Alice = ovviamente la linea adsl Telecom;
magra = gioca sia sul nome Alice sia sul fatto che ho un abbonamento flat;
è ingrassata tutta d'un botto ieri sera = ieri sera, all'improvviso, ha avuto problemi di linea.
Aah, era più difficile da capire della dimostrazione.
Ce l'ho fatta: ho letto tutto..Ti ringrazio per tutto il tempo che avrai impiegato a scrivere in mathml tutte ste formule.. e per tutte le spiegazioni.
Un'ultima nota, Gaal.
La dimostrazione precedente, seppur lievemente modificata, vale pure per $n=1$ e le modifiche mostrano che per le serie in una variabile reale, come dicevi tu, si può assicurare l'analiticità in tutto il cerchio di convergenza di un elemento analitico.
Riporto la dimostrazione (mia, quindi potrebbe presentare degli errori) che in effetti ricalca quella fatta in precedenza nel caso di più variabili.
Siano $\sum a_n*x^n$ l'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ ed $r$ il suo raggio di convergenza: acquisire la tesi equivale a provare vera la seguente proposizione:
P) $quad AA barx in ]-r,r[,exists (b_n) subset RR " ed " exists rho_barx>0:quad AA x in (barx-rho_barx,barx+rho_barx), f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)b_n*(x-barx)^n$.
Fissiamo $barx in ]-r,r[$: operando algebricamente sull'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ troviamo:
$AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*(x-barx+barx)^n=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*\sum_(k=0)^n((n),(k))*(x-barx)^k*barx^(n-k)$;
ponendo:
$AA n,k in NN,quad C_k^n=\{(((n),(k)), ", se " kle n),(0, ", se " k>n):} quad$,
dalla precedente traiamo:
a) $quad AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(k=0)^(+oo)a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$
onde $f$ è in $]-r,r[$ la somma fatta per colonne della serie doppia che ha per addendo generico il numero reale $a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$.
Mostriamo che esiste un $delta_barx>0$ tale che la serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$ converga assolutamente per ogni scelta di $x$ in $]barx-delta_barx,barx+delta_barx[$.
Visto che $barx in ]-r,r[$, è sicuramente non vuoto l'intervallo $]|barx|,r[$: fissiamo una volta per tutte $xi_barx in ]|barx|,r[$ e poniamo $delta_barx=xi_barx-|barx|>0$; avendo per definizione $AA x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), |x-barx|le xi_barx-|barx|$, possiamo maggiorare i valori assoluti dei termini della serie doppia ottenuti fissando $x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx)$ come segue:
b) $quad |a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le |a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)$.
Sommando per colonne anche la serie doppia dei valori assoluti, applicando t.a.t. le maggiorazioni b) e ricordando la formula del binomio di Newton, troviamo per ogni $n in NN$:
$\sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*sum_(k=0)^nC_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*xi_barx^n$
da cui segue facilmente la maggiorazione:
c) $\sum_(n,k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le \sum_(n=0)^(+oo)|a_n|*xi_barx^n quad$.
Visto che $xi_barx in ]-r,r[$, la serie $\suma_n*xi_barx^n$ è assolutamente convergente (si ricordi la proprietà estremale del raggio di convergenza $r$), onde dalla c) consegue l'assoluta ed incondizionata convergenza della serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k) quad$.
Per quanto visto finora è lecito scambiare l'ordine delle sommatorie nel secondo membro di a) a patto di restringere l'insieme in cui varia $x$ ad un intervallo di centro $barx$ e semiampiezza $delta_barx$:
d) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k)*(x-barx)^k$;
posto al solito:
$AAk in NN, b_k=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k) quad$ (*)
la d) prende la forma:
f) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)b_k*(x-barx)^k$.
Stante l'arbitrarietà nella sceltadi $barx$, da quanto detto consegue che la P) è verificata con la successione $(b_n)$ definita dalla (*) (seppur cambiando il nome dell'indice) e con $rho_barx=delta_barx>0$.
Noto che, essendo $rho_barx=xi_barx-|barx|$, la convergenza dell'elemento analitico $\sum b_n*(x-barx)^n$ è assicurata in un cerchio interno al cerchio di convergenza dell'elemento analitico di $f$ centrato in $0$: ciò significa che l'effettivo raggio di convergenza $r_barx$ di $\sumb_n*(x-barx)^n$ gode della seguente proprietà:
$AA xi_barx in]|barx|,r[, quad r_barx ge xi_barx-|barx| quad=>quad r_barx ge r-|barx|$
(la conseguente si ottiene passando ambo i membri della disuguaglianza antecedente all'estremo superiore risp. a $xi_barx$).
La disuguaglianza al secondo membro dell'implicazione precedente è importantissima, poichè asserisce che il raggio di convergenza del nuovo elemento analitico di $f$ è non inferiore alla distanza del suo centro (cioè $barx$) dalla frontiera del cerchio di convergenza dell'elemento analitico di partenza (cioè $]-r,r[$): questo è il punto di partenza del cosiddetto Metodo del Prolungamento Analitico.
Infine, forse si può aggiustare la dimostrazione per le serie di potenze in una variabile complessa, ma non ho avuto modo di pensarci nel fine settimana. Prova, non si sa mai che tu non riesca a tirar fuori un risultato migliore del mio.
La dimostrazione precedente, seppur lievemente modificata, vale pure per $n=1$ e le modifiche mostrano che per le serie in una variabile reale, come dicevi tu, si può assicurare l'analiticità in tutto il cerchio di convergenza di un elemento analitico.
Riporto la dimostrazione (mia, quindi potrebbe presentare degli errori) che in effetti ricalca quella fatta in precedenza nel caso di più variabili.
Siano $A subseteq RR$ un aperto contenente $0$ ed $f:Ato RR$.
Se $f$ è analitica in $0$ allora essa è analitica in ogni punto del cerchio di convergenza del suo elemento analitico centrato in $0$.
Siano $\sum a_n*x^n$ l'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ ed $r$ il suo raggio di convergenza: acquisire la tesi equivale a provare vera la seguente proposizione:
P) $quad AA barx in ]-r,r[,exists (b_n) subset RR " ed " exists rho_barx>0:quad AA x in (barx-rho_barx,barx+rho_barx), f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)b_n*(x-barx)^n$.
Fissiamo $barx in ]-r,r[$: operando algebricamente sull'elemento analitico di $f$ centrato in $0$ troviamo:
$AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*(x-barx+barx)^n=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*\sum_(k=0)^n((n),(k))*(x-barx)^k*barx^(n-k)$;
ponendo:
$AA n,k in NN,quad C_k^n=\{(((n),(k)), ", se " kle n),(0, ", se " k>n):} quad$,
dalla precedente traiamo:
a) $quad AA x in ]-r,r[,quad f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)\sum_(k=0)^(+oo)a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$
onde $f$ è in $]-r,r[$ la somma fatta per colonne della serie doppia che ha per addendo generico il numero reale $a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$.
Mostriamo che esiste un $delta_barx>0$ tale che la serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k)$ converga assolutamente per ogni scelta di $x$ in $]barx-delta_barx,barx+delta_barx[$.
Visto che $barx in ]-r,r[$, è sicuramente non vuoto l'intervallo $]|barx|,r[$: fissiamo una volta per tutte $xi_barx in ]|barx|,r[$ e poniamo $delta_barx=xi_barx-|barx|>0$; avendo per definizione $AA x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), |x-barx|le xi_barx-|barx|$, possiamo maggiorare i valori assoluti dei termini della serie doppia ottenuti fissando $x in (barx-delta_barx,barx+delta_barx)$ come segue:
b) $quad |a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le |a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)$.
Sommando per colonne anche la serie doppia dei valori assoluti, applicando t.a.t. le maggiorazioni b) e ricordando la formula del binomio di Newton, troviamo per ogni $n in NN$:
$\sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le sum_(k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*sum_(k=0)^nC_k^n*(xi_barx-|barx|)^k*|barx|^(n-k)=|a_n|*xi_barx^n$
da cui segue facilmente la maggiorazione:
c) $\sum_(n,k=0)^(+oo)|a_n|*C_k^n*|x-barx|^k*|barx|^(n-k)le \sum_(n=0)^(+oo)|a_n|*xi_barx^n quad$.
Visto che $xi_barx in ]-r,r[$, la serie $\suma_n*xi_barx^n$ è assolutamente convergente (si ricordi la proprietà estremale del raggio di convergenza $r$), onde dalla c) consegue l'assoluta ed incondizionata convergenza della serie doppia $\sum_(n,k) a_n*C_k^n*(x-barx)^k*barx^(n-k) quad$.
Per quanto visto finora è lecito scambiare l'ordine delle sommatorie nel secondo membro di a) a patto di restringere l'insieme in cui varia $x$ ad un intervallo di centro $barx$ e semiampiezza $delta_barx$:
d) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k)*(x-barx)^k$;
posto al solito:
$AAk in NN, b_k=\sum_(n=0)^(+oo)a_n*C_k^n*barx^(n-k) quad$ (*)
la d) prende la forma:
f) $quad AAx in (barx-delta_barx,barx+delta_barx), f(x)=\sum_(k=0)^(+oo)b_k*(x-barx)^k$.
Stante l'arbitrarietà nella sceltadi $barx$, da quanto detto consegue che la P) è verificata con la successione $(b_n)$ definita dalla (*) (seppur cambiando il nome dell'indice) e con $rho_barx=delta_barx>0$.
Noto che, essendo $rho_barx=xi_barx-|barx|$, la convergenza dell'elemento analitico $\sum b_n*(x-barx)^n$ è assicurata in un cerchio interno al cerchio di convergenza dell'elemento analitico di $f$ centrato in $0$: ciò significa che l'effettivo raggio di convergenza $r_barx$ di $\sumb_n*(x-barx)^n$ gode della seguente proprietà:
$AA xi_barx in]|barx|,r[, quad r_barx ge xi_barx-|barx| quad=>quad r_barx ge r-|barx|$
(la conseguente si ottiene passando ambo i membri della disuguaglianza antecedente all'estremo superiore risp. a $xi_barx$).
La disuguaglianza al secondo membro dell'implicazione precedente è importantissima, poichè asserisce che il raggio di convergenza del nuovo elemento analitico di $f$ è non inferiore alla distanza del suo centro (cioè $barx$) dalla frontiera del cerchio di convergenza dell'elemento analitico di partenza (cioè $]-r,r[$): questo è il punto di partenza del cosiddetto Metodo del Prolungamento Analitico.
Infine, forse si può aggiustare la dimostrazione per le serie di potenze in una variabile complessa, ma non ho avuto modo di pensarci nel fine settimana. Prova, non si sa mai che tu non riesca a tirar fuori un risultato migliore del mio.
Beh mi sembra inutile generalizzare.. mi posso appellare al teorema di Gugo generale (per $n in NN$) e particolare (l'ultimo!).. e viene immediato. Bene, grazie mille.
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