Le serie di Laurent
Anche qui, vorrei avere una conferma.
In analisi complessa si usa spesso rappresentare una $f(z)$ come somma di una serie del tipo tipo $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$. In serie di questo tipo, è importante tener presente:
1. il punto iniziale $z_0$ attorno a cui si fa lo sviluppo;
2. la regione del piano complesso in cui vale lo sviluppo.
Per esempio, sia data la $f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z-2}$. Sono possibili innumerevoli sviluppi.
Per esempio, sia $z_0=0$. Allora ci sono tre sviluppi possibili: uno valido nel disco di centro l'origine e raggio 1, un altro valido nella corona circolare $1<|z|<2$, un altro ancora nella regione di piano per cui $|z|>2$. Sono tre sviluppi completamente diversi.
Sia invece $z_0=1$. Ci sono due sviluppi possibili: uno valido nel disco forato di centro $z=1$ e raggio $1$; l'altro valido nella regione di piano per cui $|z-1|>1$.
Ecco, se voglio considerare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione precedente attorno alla singolarità $z=1$, l'unico sviluppo che conta è quello nel disco forato di centro $z=1$ e raggio $1$: tutti gli altri non contanto.
Insomma, quando voglio detrminare la serie d i Laurent di una funzione attorno a una sua singolarità $z_0$ (per esempio, per determinarne il residuo via $c_{-1}$), lo sviluppo che interessa è sempre e solo quello di punto iniziale $z_0$ e valido nel disco forato di centro $z_0$.
Giusto?
Grazie mille,
L.
In analisi complessa si usa spesso rappresentare una $f(z)$ come somma di una serie del tipo tipo $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$. In serie di questo tipo, è importante tener presente:
1. il punto iniziale $z_0$ attorno a cui si fa lo sviluppo;
2. la regione del piano complesso in cui vale lo sviluppo.
Per esempio, sia data la $f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z-2}$. Sono possibili innumerevoli sviluppi.
Per esempio, sia $z_0=0$. Allora ci sono tre sviluppi possibili: uno valido nel disco di centro l'origine e raggio 1, un altro valido nella corona circolare $1<|z|<2$, un altro ancora nella regione di piano per cui $|z|>2$. Sono tre sviluppi completamente diversi.
Sia invece $z_0=1$. Ci sono due sviluppi possibili: uno valido nel disco forato di centro $z=1$ e raggio $1$; l'altro valido nella regione di piano per cui $|z-1|>1$.
Ecco, se voglio considerare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione precedente attorno alla singolarità $z=1$, l'unico sviluppo che conta è quello nel disco forato di centro $z=1$ e raggio $1$: tutti gli altri non contanto.
Insomma, quando voglio detrminare la serie d i Laurent di una funzione attorno a una sua singolarità $z_0$ (per esempio, per determinarne il residuo via $c_{-1}$), lo sviluppo che interessa è sempre e solo quello di punto iniziale $z_0$ e valido nel disco forato di centro $z_0$.
Giusto?
Grazie mille,
L.
Risposte
Per quanto riguarda la questione finale, esatto (ciò dipende dalla definizione di residuo e dal teorema che consente di determinarlo come integrale lungo un circuito chiuso attorno alla singolarità).
Nota a margine: nel caso dell'esempio, lo sviluppo in serie di Laurent intono a [tex]$0$[/tex] si riduce allo sviluppo di Taylor (poiché la funzione [tex]$\frac{1}{z-1} +\frac{1}{z-2}$[/tex] è olomorfa intorno all'origine).
P.S.: Stiamo sottacendo l'ipotesi, ovvia, che la singolarità sia isolata.
P.P.S.: Come mai tutto questo interesse per le funzioni olomorfe?
Nota a margine: nel caso dell'esempio, lo sviluppo in serie di Laurent intono a [tex]$0$[/tex] si riduce allo sviluppo di Taylor (poiché la funzione [tex]$\frac{1}{z-1} +\frac{1}{z-2}$[/tex] è olomorfa intorno all'origine).
P.S.: Stiamo sottacendo l'ipotesi, ovvia, che la singolarità sia isolata.
P.P.S.: Come mai tutto questo interesse per le funzioni olomorfe?
Perfetto.
Per quanto riguarda il mio interesse per le funzioni olomorfe... mi è venuta una mezza idea di fare l'esame per il dottorato di ricerca a matematica. Sto ripassando le basi (analisi, algebra, geometria) e devo dire che l'analisi complessa (con le sue analogie e differenze rispetto a quella reale, il legame con le 1-fome, le possibilità di applicazioni al calcolo degli integrali) è davvero splendida.
Ciao e grazie,
L.
Per quanto riguarda il mio interesse per le funzioni olomorfe... mi è venuta una mezza idea di fare l'esame per il dottorato di ricerca a matematica. Sto ripassando le basi (analisi, algebra, geometria) e devo dire che l'analisi complessa (con le sue analogie e differenze rispetto a quella reale, il legame con le 1-fome, le possibilità di applicazioni al calcolo degli integrali) è davvero splendida.
Ciao e grazie,
L.
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