Le Funzioni Inverse
Esiste un procedimento, algoritmo, per ottenere esplicitamente l'inversa di una funzione ?
Risposte
"Qulto":
Esiste un procedimento, algoritmo, per ottenere esplicitamente l'inversa di una funzione ?
Esiste per trovare i coefficienti del suo sviluppo in serie.
Abbiamo una funzione $f(x)$ tale che $f(0)=0$ e di cui conosciamo i coefficienti $a$ dello sviluppo
$f(x)=a_1 x +a_2 x^2 + a_3 ^3+...$
vogliamo trovare i coefficienti $b$ di
$f^-1(x)= b_1 x + b_2 x^2 + b^3 x^3 +...$
non resta che sostituire
$f^-1(f(x))= b_1 (a_1 x +a_2 x^2 + a_3 ^3+...) + b_2 (a_1 x +a_2 x^2 + a_3 ^3+...)^2 + b^3 (a_1 x +a_2 x^2 + a_3 ^3+...)^3 +...=x$
da cui troviamo
$a_1 b_1=1$
$a_2 b_1 + (a_1)^2 b_2 = 0$
$a_3 b_1 + 2(a_1 a_2)b_3 + (a_1)^3 b_3 =0$
...
risolvendo questo sistema possiamo calcolarci i $b$.
Certo tutto questo a patto che $f(x)$ sia invertibile, altrimenti otteniamo risultati errati come serie divergenti o indeterminate...
Ciao Ciao
PS riscoprii questo sistema parecchio tempo fa e lo usai per calcolare i primi dieci coefficienti dell'inversa di $sum_(n=1)^infty (x^n)/(n!^2)$
Sviluppo in serie di cosa?
(serie di Foriur, Laplace .....)
(serie di Foriur, Laplace .....)
Il metodo più semplice [anche se non sempre conduce ad una soluzione in forma esplicita...] sarebbe il seguente...
Data la funzione $y=f(x)$, se indichiamo con $x=g(y)$ la sua inversa, per essa vale la proprietà...
$x'= 1/(f'(x))$ (1)
Ora la (1) costituisce una equazione differenziale la cui soluzione [corredata da una opportuna coindizione al contorno...] è la funzione cercata...
Prendiamo ad esempio $y=x^2$ per cui è $y'=2x$. La (1) diviene il questo caso...
$x'=1/(2x)$ (2)
... che risolviamo con la condizione al contorno $x(0)=0$. Dalla (2) si ricava immeditamente...
$ 2x*dx=dy$ (3)
... e integrando entrambi i membri ...
$x^2=y+c$ (4)
Sostituendo nella (4) la condizione al contorno si trova che $c=0$ per cui alla fine si ha...
$x=sqrt(y)$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Data la funzione $y=f(x)$, se indichiamo con $x=g(y)$ la sua inversa, per essa vale la proprietà...
$x'= 1/(f'(x))$ (1)
Ora la (1) costituisce una equazione differenziale la cui soluzione [corredata da una opportuna coindizione al contorno...] è la funzione cercata...
Prendiamo ad esempio $y=x^2$ per cui è $y'=2x$. La (1) diviene il questo caso...
$x'=1/(2x)$ (2)
... che risolviamo con la condizione al contorno $x(0)=0$. Dalla (2) si ricava immeditamente...
$ 2x*dx=dy$ (3)
... e integrando entrambi i membri ...
$x^2=y+c$ (4)
Sostituendo nella (4) la condizione al contorno si trova che $c=0$ per cui alla fine si ha...
$x=sqrt(y)$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Qulto":
Sviluppo in serie di cosa?
(serie di Foriur, Laplace .....)
Sviluppo in serie di Taylor centrato in $x=0$
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