Lavoro lungo una curva

[neri.p1]

Dato il campo di vettori:
$F(x,y)=(y/(x^2+y^2);-x/(x^2+y^2))$
Calcolare il lavoro lungo la curva $y=cos(x)$ sull'intervallo $[-pi/2;pi/2]$, orientato in senso antiorario.
per primo ho parametrizzato la curva $gamma(t)= \{ (x=t),(y=cos(t)) :} t in [pi/2,-pi/2]$
(così è percorsa in senso antiorario giusto?)

adesso per calcolare il lavoro lungo la curva:
$\int_gamma F dr=\int_(pi/2)^(-pi/2) F(gamma(t)) cdot gamma'(t)dt = \int_(pi/2)^(-pi/2) (cos(t)/(t^2 + cos^2(t))+(t sin(t))/(t^2+cos^2(t)))dt $
però mi sembra una primitiva mostruosa da trovare...


Ho poi visto che F è irrotazionale, infatti $(del(F_1))/(del y)=(del(F_2))/(del x)$

Anche se l'esercizio non mi dice nulla del dominio di F provo a vedere se il campo è conservativo, cioè se esiste una funzione $U$ tale che: $(del U)/(del x)=F_1$ e $(del U)/(del y)=F_2$
quindi cerco le primitive: $\int F_1 dx= \int y/(x^2+y^2) dx= y \int 1/(x^2+y^2) dx$
io risolverei come: $y \int 1/((x/y)^2+1) dx =y^2 \int (1/y)/((x/y)^2+1)dx= y^2 arctan(x/y) + a(y)$
Ma posso dividere così liberamente per y??
Che dite,come lo risolvo

[ciampax]

irrotazionale? Quello? Ma hai calcolato bene le derivate?

[neri.p1]

$del/(dely) (y/(x^2+y^2))=((1 cdot (x^2+y^2)-y cdot(2y))/(x^2+y^2)^2)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$
$del/(delx) (-x/(x^2+y^2))=-((1 cdot (x^2+y^2)-x cdot(2x))/(x^2+y^2)^2)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$
Sono uguali, quindi $(delF_1)/(dely)-(delF_2)/(delx)=0$ .... quindi irrotazionale..
Mi sembra fatta bene questa parte, no?

[ciampax]

Sì, sì, non avevo visto il $-$. Per l'integrale osserva che

$y/{x^2+y^2}=y/{y^2(x^2/y^2+1)}=1/y\cdot 1/{(x/y)^2+1}$