Lavoro lungo una curva
Salve,
vi scrivo l'ennesimo dubbio con anche la mia risoluzione dell'esercizio (sono un pò prolisso, ma alla fine c'è solo una domandina sulla parte finale dell'esercizio).
Data la curva:
$ gamma _A=(sqrt2cost,sqrt2sint) $ $ rarr $ $ tin[0,5/4pi] $
$ gamma _B =((4t)/(5pi)-2,(4t)/(5pi)-2) rarr tin[5/4pi,5/2pi] $
Se ne calcoli la lunghezza e l'integrale lungo $ gamma_Auu gamma_B $ del campo:
$ F(x,y)=((e^(2y))/sqrt2, sqrt2xe^(2y)) $
Io l'ho risolto con questi risultati:
Lunghezza --> $ L(gamma)=sqrt2(5/4pi+1) $ (coincide col risultato dell'esercizio)
Il campo ammette potenziale --> $ P(x,y)=(xe^(2y))/sqrt2 $ (coincide col risultato del libro)
Il campo è conservativo (coincidono le derivate del campo) perciò il lavoro è uguale alla differenza dei potenziali...
Il libro scrive $ P(0,0)-P(sqrt2,0)=-1 $ e qua c'è il punto che non mi è chiaro.
Da dove ricava i valori $ (0,0) $ e $ (sqrt2,0) $ ? In teoria credo che dovrebbero essere i due punti che collegano la curva agli estremi, ma non riesco a ricavarli.
Come sempre, grazie infinite dell'aiuto!
vi scrivo l'ennesimo dubbio con anche la mia risoluzione dell'esercizio (sono un pò prolisso, ma alla fine c'è solo una domandina sulla parte finale dell'esercizio).
Data la curva:
$ gamma _A=(sqrt2cost,sqrt2sint) $ $ rarr $ $ tin[0,5/4pi] $
$ gamma _B =((4t)/(5pi)-2,(4t)/(5pi)-2) rarr tin[5/4pi,5/2pi] $
Se ne calcoli la lunghezza e l'integrale lungo $ gamma_Auu gamma_B $ del campo:
$ F(x,y)=((e^(2y))/sqrt2, sqrt2xe^(2y)) $
Io l'ho risolto con questi risultati:
Lunghezza --> $ L(gamma)=sqrt2(5/4pi+1) $ (coincide col risultato dell'esercizio)
Il campo ammette potenziale --> $ P(x,y)=(xe^(2y))/sqrt2 $ (coincide col risultato del libro)
Il campo è conservativo (coincidono le derivate del campo) perciò il lavoro è uguale alla differenza dei potenziali...
Il libro scrive $ P(0,0)-P(sqrt2,0)=-1 $ e qua c'è il punto che non mi è chiaro.
Da dove ricava i valori $ (0,0) $ e $ (sqrt2,0) $ ? In teoria credo che dovrebbero essere i due punti che collegano la curva agli estremi, ma non riesco a ricavarli.
Come sempre, grazie infinite dell'aiuto!
Risposte
Semplicemente sostituisci la $t$ iniziale e la $t$ finale all'equazione della curva.
$t$ iniziale è $t=0$
$t$ finale è $t=5/2pi$
per $t=0$ entriamo in $gamma_A$
$P_1->gamma_A(0)=(sqrt(2)*cos(0),sqrt(2)*sin(0))=(sqrt(2),0)$
per $t=5/2pi$ entriamo in $gamma_B$
$P_2->gamma_B(5/2pi)=(4/(5pi)*(5pi)/2-2,4/(5pi)*(5pi)/2-2)=(0,0)$
$t$ iniziale è $t=0$
$t$ finale è $t=5/2pi$
per $t=0$ entriamo in $gamma_A$
$P_1->gamma_A(0)=(sqrt(2)*cos(0),sqrt(2)*sin(0))=(sqrt(2),0)$
per $t=5/2pi$ entriamo in $gamma_B$
$P_2->gamma_B(5/2pi)=(4/(5pi)*(5pi)/2-2,4/(5pi)*(5pi)/2-2)=(0,0)$
Ti ringrazio moltissimo, davvero chiaro!!
Grazie di che?^^
Capita spesso anche a me di perdermi in un bicchier d'acqua.
A volte certe cose che ci sembrano così astruse sono in realtà banalità...
beffe delle vita...eheh^^
Capita spesso anche a me di perdermi in un bicchier d'acqua.
A volte certe cose che ci sembrano così astruse sono in realtà banalità...
beffe delle vita...eheh^^
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