Lavoro lungo curva e potenziale

[Gost91]

Buona sera a tutti!

Dovrei calcolare il lavoro di $F\equiv(e^(z^2)+ze^(x+y),2e^(z^2)+ze^(x+y),2z(x+2y)e^(z^2)+e^(x+y))$ lungo la curva

$\gamma:{(x=t),(y=t-1),(z=t^3):}$

con $t\in[0,1]$

Mi calcolo il rotore di $F$:

$rot(F)=|(\veci,\vecj,\veck),(\partial/(\partialx),\partial/(\partialz),\partial/(\partialk)),(e^(z^2)+ze^(x+y),2e^(z^2)+ze^(x+y),2z(x+2y)e^(z^2)+e^(x+y))|=$


$(4ze^(z^2)+e^(x+y)-(4ze^(z^2)+e^(x+y)))\veci+$

$(2ze^(z^2)+e^(x+y)-(2ze^(z^2)+e^(x+y)))\vecj+$

$(ze^(x+y)-ze^(x+y))\veck$

$=>rot(F)=\vec0$

$F$ essendo definito in tutto $RR^3$ e irrotazionale è conservativo.
Mi calcolo il potenziale:

${((\partialg)/(\partialx)=e^(z^2)+ze^(x+y)),((\partialg)/(\partialy)=2e^(z^2)+ze^(x+y)),((\partialg)/(\partialz)=2z(x+2y)e^(z^2)+e^(x+y)):}$

$int(\partialg)/(\partialx)dx=inte^(z^2)+ze^(x+y)dx=xe^(z^2)+ze^(x+y)+h(y,z)$

Dove h indica che la costante della funzione potenziale dipende sia y che da z, proseguo:



$d/dy(xe^(z^2)+ze^(x+y)+h(y,z))=ze^(x+y)+d/dyh(y,z)$

$ze^(x+y)+d/dyh(y,z)=(\partialg)/(\partialy)=2e^(z^2)+ze^(x+y)$

$=>d/dyh(y,z)=2e^(z^2)$

*$=>h(y,z)=int2e^(z^2)dy=ze^(x+y)+k(z)$



$d/dz(ze^(x+y)+k(z))=e^(x+y)+k'(z)$

$e^(x+y)+k'(z)=(\partialg)/(\partialz)=2z(x+2y)e^(z^2)+e^(x+y)$

$=>k'(z)=2z(x+2y)e^(z^2)$

**$=>k(z)=int2z(x+2y)e^(z^2)dz=2x\intze^(z^2)dz+4yintze^(z^2)dz=xe^(z^2)+2ye^(z^2)+c$



Ora rimontando tutti i pezzi ottengo la funzione potenziale:

$xe^(z^2)+ze^(x+y)+h(y,z)=xe^(z^2)+ze^(x+y)+ze^(x+y)+k(z)=xe^(z^2)+ze^(x+y)+ze^(x+y)+xe^(z^2)+2ye^(z^2)+c$

Cioè $g(x,y,z)=2xe^(z^2)+2ze^(x+y)+2ye^(z^2)+c$

Ora, per definizione di funzione potenziale, dovrei avere che $\nablag=F$, ma purtroppo nel mio caso non avviene, in quanto:

$\nablag=(2ze^(x+y)+2e^(z^2),2ze^(x+y)+2e^(z^2),2e^(x+y)+(x+y)4ze^(z^2))!=F $

Sono convinto che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma purtroppo non riesco a vedere l'errore, e questa è una cosa che mi capita spesso quando devo avere a che fare con così tanti calcoli.
Se qualcuno riuscisse a farmelo notare mi farebbe un gran piacere visto che sto incominciando a pensare che ci sia qualche errore a livello macchinario del metodo, anche se fino a ora mi si è sempre rilevato valido.
Personalemente credo che possa risiedere nei passaggi * e **, anche se mi sembrano del tutto plausibili.
Grazie a tutti in anticipo!

[Rigel1]

Mi sembra che il potenziale sia $(x+2y)e^{z^2}+z e^{x+y}$.

[Gost91]

Sapresti mica dirmi dove è che sbaglio?

[Rigel1]

Ad esempio, se $\frac{\partial h}{\partial y} (y,z) = 2 e^{z^2}$, allora
$h(y,z) = 2 y e^{z^2} + k(z)$.