Lavoro di un capo irrotazionale

[dragonspirit1]

SAlve sto eseguendo un tema di analisi 2 e mi sono venuti alcuni dubbi riguardo alla teria dei campi conservativi:

riporto il tema d'esame così magari posso spiegarmi meglio:

dato il seguante campo dovevo calcolare :
- dominio $ x != 0 $
-rotore : e vedo che il campo è irrotazionale
-definire se il campo è conservativo nel suo dominio e eventualmente calcolarne un suo potenziale.

Ma dalla teoria che conosco se vedo che il dominio non è stellato: ovvero non esiste un punto x_0 appartenente all'insieme (chiamato centro) tale che per ogni punto x appartenente al dominio il segmento che unisce x con x_0 appartiene all'insieme.

quindi sicuramente questo non è un campo conservativo.

Ma dato che l'esercizio procede con un calcolo di un lavoro su di una curva che definirla brutta è dir poco immagino per esperienza con questi temi d'esame che ci sia un escamotage per semplificare il calcolo.

la curva è la seguente:

[ciampax]

Veramente il dominio è $x>0$

[dragonspirit1]

ooook dopo 5 ore è forse venuto il momento di far pausa................. comunque il dubbio che mi era venuto riguardava una condizione che ho trovato in altri esercizi:

se trovo un campo irrotazionale ma devo calcolare un lavoro di una curva chiusa e il sostegno di questa curva giace su un sottoinsieme del dominio di questo campo in cui non sono presenti punti di discontinuità.....insomma è stellato...allora posso dire che il lavoro è zero?
e che esiste un potenziale in quella zona?

[ciampax]

Se il dominio è stellato e il campo è irrotazionale, esiste sempre un potenziale e il lavoro su un circuito chiuso è sempre nullo.

[dragonspirit1]

si ma sto dicendo nel caso in cui il suo dominio non sia stellato.....ad esempio x!= 0 ma ho un lavoro da calcolare solo su un percorso nel primo quadrante per esempio....li posso definire un potenziale o calcolarlo ad esempio sulla retta? non so se mi sono spiegato

[ciampax]

Ah, scusa, non avevo capito. Bé in quei casi puoi spezzare il dominio in sottodomini stellati (ad esempio, fosse stato $x\ne 0$, nel semipiano superiore e quello inferiore) trovando in tal caso due diversi potenziali per ogni dominio (sempre ammessa l'irrotazionalità). A quel punto, se la curva resta solo dentro uno dei singoli sottodomini, puoi procedere come dicevamo.