Lavoro del campo vettoriale
Buongiorno vi scrivo per chiedervi di un esercizio d'esame di cui non mi torna il risultato:
" Il lavoro del campo vettoriale $ F(x,y)=(e^(x^2+5) ,6e^(xy) + e^(y^2-5)) $ lungo la frontiera del quadrato $ D = [0,3] xx [0,3] $ percorsa in senso orario vale: "
il risultato è $ L = 2(10-e^9) $
Ho provato a risolverlo parametrizzando i 4 segmenti, ma ora di sostituire i valori dei 4 vettori, moltiplicare per le loro derivate e calcolare i 4 integrali di linea veniva un pò laborioso, così ho utilizzato il teorema di green ottenendo:
$ oint_(gamma ) Fdp = int int_(D)^() (partial f2)/(partial x)(x,y) - (partial f1)/(partial y)(x,y) dx dy $
Quindi svolgendo i calcoli:
$ int_(0)^(3) int_(0)^(3) 6ye^(xy) dx dy $
il mio dubbio ora è su questo passaggio, siccome ho $ 6ye^(xy) $ io ho pensato di spezzarlo come segue: $ 6*e^x * ye^y $ , integrando quindi separatamente lungo x e lungo y, riscrivendo l'integrale doppio ho fatto come segue:
$ 6 int_(0)^(3) e^x dx int_(0)^(3) y e^y dy $
Facendo in questo modo, integrando separatamente trovo il seguente risultato $ L = 12e^9 -6e^3 - 6 $
Ho sbagliato ad usare il teorema?
Ps per parametrizzare i 4 segmenti ho usato questa parametrizzazione
$ gamma (t) = (xa + t(xb - xa), ya +t (yb - ya)) $ con $ t in [0,1] $
" Il lavoro del campo vettoriale $ F(x,y)=(e^(x^2+5) ,6e^(xy) + e^(y^2-5)) $ lungo la frontiera del quadrato $ D = [0,3] xx [0,3] $ percorsa in senso orario vale: "
il risultato è $ L = 2(10-e^9) $
Ho provato a risolverlo parametrizzando i 4 segmenti, ma ora di sostituire i valori dei 4 vettori, moltiplicare per le loro derivate e calcolare i 4 integrali di linea veniva un pò laborioso, così ho utilizzato il teorema di green ottenendo:
$ oint_(gamma ) Fdp = int int_(D)^() (partial f2)/(partial x)(x,y) - (partial f1)/(partial y)(x,y) dx dy $
Quindi svolgendo i calcoli:
$ int_(0)^(3) int_(0)^(3) 6ye^(xy) dx dy $
il mio dubbio ora è su questo passaggio, siccome ho $ 6ye^(xy) $ io ho pensato di spezzarlo come segue: $ 6*e^x * ye^y $ , integrando quindi separatamente lungo x e lungo y, riscrivendo l'integrale doppio ho fatto come segue:
$ 6 int_(0)^(3) e^x dx int_(0)^(3) y e^y dy $
Facendo in questo modo, integrando separatamente trovo il seguente risultato $ L = 12e^9 -6e^3 - 6 $
Ho sbagliato ad usare il teorema?
Ps per parametrizzare i 4 segmenti ho usato questa parametrizzazione
$ gamma (t) = (xa + t(xb - xa), ya +t (yb - ya)) $ con $ t in [0,1] $
Risposte
Attento qua
$e^{xy}!=e^xe^y$ (in generale)
"Gio_bass88":
$6\int_{0}^{3}e^xdx\int_{0}^{3}ye^ydy$
$e^{xy}!=e^xe^y$ (in generale)
Quindi la via che ho scelto non è molto conveniente vero? Forse la strada più semplice è risolverlo parametrizzando e risolvendo l'integrale di linea...
Comunque c'è un metodo per poter risolvere quell'integrale doppio?
Comunque c'è un metodo per poter risolvere quell'integrale doppio?
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