Lavoro con stokes?

[matematico91]

attraverso stokes devo calcolare il lavoro sulla linea $gamma$ nata dall'intersezione del piano $z=x+4$ e del cilindro $x^2+y^2=4$ non so però come comportarmi con la parametrizzazione di questa nuova linea $gamma$ a dir la verità non riesco nemmeno a ricondurmi a qualcosa di famigliare, immagino sia un ellisse ma non saprei come parametrizzare.
come posso procedere?

[Sk_Anonymous]

$\{(x=2cos\phi),(y=2sen\phi),(z=2cos\phi+4):}$ con $0<=\phi<2\pi$.

[matematico91]

"speculor":$\{(x=2cos\phi),(y=2sen\phi),(z=2cos\phi+4):}$ con $0<=\phi<2\pi$.

grazie speculor...agendo con la tua parametrizzazione mi viene fuori però un risultato sbagliato.
molto probabilmente ho sbagliato io i conti perchè facendolo con la definizione di lavoto viene corretto.

ho un campo vettoriale $F=(2z)ì,(4x)j,(5y)k$ calcolo quindi il rotore. che risulta essere il vettore $(5,2,4)$.

calcolo anche il vettore n che viene $(-4,0,4)$

dopodiche faccio il prodotto scalare tra i due: il risultato viene quindi =-4
ora devo moltiplicare questo -4 per l'integrale su $x^2+y^2=4$ quindi è come fare 4*area(D), quindi il risultato verrebbe $-16pi$
solo che è sbagliato, (dovrebbe venire $-4pi$)

cosa sbaglio?
grazie

[Sk_Anonymous]

La prima parametrizzazione si riferiva al bordo, se vuoi la superficie devi utilizzare questa:

$\{(x=2\rhocos\phi),(y=2\rhosen\phi),(z=2\rhocos\phi+4):}$ con $0<=\rho<=1$ e $0<=\phi<2\pi$

Ottieni un vettore normale di componenti $(-4\rho,0,4\rho)$. Infine, devi calcolare il seguente integrale di superficie:

$\int_0^1d\rho\int_0^(2\pi)d\phi(-4\rho)=-4\pi$

Suppongo dovessi calcolare la circuitazione in senso antiorario, osservandone la proiezione sul piano $xy$ disposto nel verso dell'asse $z$..