Lavoro campo vettoriale
Nel piano cartesiano, la parabola di equazione y=5x^2 e la retta di equazione y = 5x si intersecano nell’origine O e in un secondo punto P . Una particella parte dall’origine e si muove lungo la parabola fino al punto P, poi ritorna all’origine percorrendo la retta da P a O. Trovare il lavoro fatto sulla particella dal campo di forze
$F=(x^2e^(x6)-y^3,x^3+ye^(y6))$
Io ho pensato di parametrizzare la parabola come $(t,5t^2)$ con t che varia tra 0 e 1 e la retta come $(t,5t)$, t varia tra 0 e 1 e fare gli integrali di linea, in cui quello lungo la retta è col segno meno, perché percorso in verso opposto.
È corretto?
Potreste aiutarmi .
Grazie
$F=(x^2e^(x6)-y^3,x^3+ye^(y6))$
Io ho pensato di parametrizzare la parabola come $(t,5t^2)$ con t che varia tra 0 e 1 e la retta come $(t,5t)$, t varia tra 0 e 1 e fare gli integrali di linea, in cui quello lungo la retta è col segno meno, perché percorso in verso opposto.
È corretto?
Potreste aiutarmi .
Grazie
Risposte
Sì, ok.
Ma prima controlla se puoi semplificarti il lavoro... Non è, per caso, che il campo è conservativo? O che ha una componente conservativa?
Ma prima controlla se puoi semplificarti il lavoro... Non è, per caso, che il campo è conservativo? O che ha una componente conservativa?
Ok grazie, avevo pensato di provare a verificare se fosse o meno conservativo, ma non risulta irrotazionale
In parte sì e se lo noti, l'esercizio lo risolvi; altrimenti no.
Dovrei considerare il campo su 5x^2 e 5x e vedere se è conservativo?
"AndretopC0707":
Dovrei considerare il campo su 5x^2 e 5x e vedere se è conservativo?
Qual è la definizione di campo conservativo?
Alla luce della definizione, ti sembra che quanto hai scritto abbia un minimo di senso?
Conservativo se esiste una funzione U tale che gradiente di U sia uguale a F.
Ma il campo risulta irrotazionale quindi non conservativo.
O sbaglio?
Qual è la definizione di campo conservativo?
Alla luce della definizione, ti sembra che quanto hai scritto abbia un minimo di senso?[/quote]
Pensavo di provare a restringermi al piano in cui si trovano 5x e 5x^2, ma a me risulta comunque non conservativo
Ma il campo risulta irrotazionale quindi non conservativo.
O sbaglio?
"gugo82":
[quote="AndretopC0707"]Dovrei considerare il campo su 5x^2 e 5x e vedere se è conservativo?
Qual è la definizione di campo conservativo?
Alla luce della definizione, ti sembra che quanto hai scritto abbia un minimo di senso?[/quote]
Pensavo di provare a restringermi al piano in cui si trovano 5x e 5x^2, ma a me risulta comunque non conservativo
Già meglio.
Dire che un campo è conservativo su una curva non ha alcun senso. Perché?
Ciò chiesto, osserva che nel tuo caso puoi scrivere $mathbf(F) = mathbf(F)_c + mathbf(F)_(nc)$, ossia puoi scomporre il campo assegnato $mathbf(F)$ nella somma di una componente conservativa, $mathbf(F)_c$, ed una non conservativa, $mathbf(F)_(nc)$.
Ciò ti aiuta nel calcolo: come? Perché?
Dire che un campo è conservativo su una curva non ha alcun senso. Perché?
Ciò chiesto, osserva che nel tuo caso puoi scrivere $mathbf(F) = mathbf(F)_c + mathbf(F)_(nc)$, ossia puoi scomporre il campo assegnato $mathbf(F)$ nella somma di una componente conservativa, $mathbf(F)_c$, ed una non conservativa, $mathbf(F)_(nc)$.
Ciò ti aiuta nel calcolo: come? Perché?
Ok grazie, quindi posso considerare $F_c$ come $(x^2 e^((x)^6) , y e^((y)^6))$ e trovarne un potenziale da usare per il calcolo del lavoro e poi calcolare il lavoro di $F_nc$ con l’integrale curvilineo e sommare?
Di $mathbf(F)_c$ non ti serve conoscere nulla più del fatto che è conservativo. Perché?
P.S.: Ma rispondere alle domande non si usa più?
È un ottimo esercizio per l'esame, visto che fare i conti senza motivare i passaggi è un po' riduttivo.
P.S.: Ma rispondere alle domande non si usa più?
È un ottimo esercizio per l'esame, visto che fare i conti senza motivare i passaggi è un po' riduttivo.
Grazie.
Hai ragione, il lavoro è nullo in quanto la linea è chiusa.
Hai ragione, il lavoro è nullo in quanto la linea è chiusa.
Quale domanda?
"AndretopC0707":
Quale domanda?
Quella a cui hai appena risposto
Alla fine l'integrale di linea dovrebbe semplificarsi in $3*5^5int_0^1 [t^10-t^5]dt=-5^6/22$
"AndretopC0707":
Hai ragione, il lavoro è nullo in quanto la linea è chiusa
Che cosa stai dicendo? Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo solo se la forza è conservativa. Una forza non conservativa, su un percorso chiuso, esegue un lavoro NON nullo. Quindi non è sufficiente avere un percorso chiuso nel campo, per dire che il lavoro è nullo.
Pensa a un blocchetto lanciato con una velocità iniziale su per un piano inclinato scabro. Dopo un po’, si ferma e torna giù . Il percorso é chiuso, ma la parte di forza non conservativa , cioè la forza di attrito, ha eseguito lavoro diverso da zero.
@Five
Si stava riferendo appunto alla componente conservativa del campo
Si stava riferendo appunto alla componente conservativa del campo
@ Bokonon: Grazie mille Bokonon.
@ Five:
Che cosa stai dicendo? Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo solo se la forza è conservativa. Una forza non conservativa, su un percorso chiuso, esegue un lavoro NON nullo. Quindi non è sufficiente avere un percorso chiuso nel campo, per dire che il lavoro è nullo.
Pensa a un blocchetto lanciato con una velocità iniziale su per un piano inclinato scabro. Dopo un po’, si ferma e torna giù . Il percorso é chiuso, ma la parte di forza non conservativa , cioè la forza di attrito, ha eseguito lavoro diverso da zero.[/quote]
Sì, mi riferivo solo alla componente conservativa
@ Five:
"Five":
[quote="AndretopC0707"]Hai ragione, il lavoro è nullo in quanto la linea è chiusa
Che cosa stai dicendo? Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo solo se la forza è conservativa. Una forza non conservativa, su un percorso chiuso, esegue un lavoro NON nullo. Quindi non è sufficiente avere un percorso chiuso nel campo, per dire che il lavoro è nullo.
Pensa a un blocchetto lanciato con una velocità iniziale su per un piano inclinato scabro. Dopo un po’, si ferma e torna giù . Il percorso é chiuso, ma la parte di forza non conservativa , cioè la forza di attrito, ha eseguito lavoro diverso da zero.[/quote]
Sì, mi riferivo solo alla componente conservativa
E allora devi dirlo chiaramente, altrimenti chi legge una frase dove manca una precisazione essenziale ha un colpo!
Sì hai ragione, ma secondo me, leggendo la discussione completa, si capisce che è riferito solo al lavoro conservativo
"AndretopC0707":
[...] secondo me, leggendo la discussione completa, si capisce che è riferito solo al lavoro conservativo
Hai ragione.
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