Laterale di $T_aM$ e $(T_aM)^⟂$

[Angus1956]

Consideriamo $M={(x, y, z)inRR^3 | x^2-2z=0, z=x^2+y^2-1}$ la varietà di dimensione $1$ su $RR^3$. Abbiamo che $T_aM=span{((-1),(sqrt(2)),(-1))}$ e $(T_aM)^⟂=span{((2),(0),(-2)),((2),(1/sqrt(2)),(-1))}$. Come faccio a determinare le varietà $a+T_aM$ e $a+(T_aM)^⟂$? Io ad esempio so che $a+T_aM$ è parallela ad $T_aM$ e passa per $a$, quindi devo impostare un equazione su questo punto?

[megas_archon]

Quello che hai determinato è qualcosa di simile a una base per gli spazi tangenti nell'origine (qualsiasi cosa questo significhi dato che l'origine non sta in $M$). Nello spazio affine, \(a+T_aM\) è esattamente il sottospazio dei punti della forma\(a+v\) con \(v\in T_aM\), spazio che puoi determinare... beh, ci sono un sacco di modi, certamente hai trovato quei vettori in qualche maniera, ora devi solo usare quella maniera nel modo giusto

[Angus1956]

"megas_archon":Quello che hai determinato è qualcosa di simile a una base per gli spazi tangenti nell'origine (qualsiasi cosa questo significhi dato che l'origine non sta in $M$). Nello spazio affine, \(a+T_aM\) è esattamente il sottospazio dei punti della forma\(a+v\) con \(v\in T_aM\), spazio che puoi determinare... beh, ci sono un sacco di modi, certamente hai trovato quei vettori in qualche maniera, ora devi solo usare quella maniera nel modo giusto

Più che altro sfortunatamente non ho toccato le affinità in geometria (purtroppo a geometria 1 non c e stato tempo di farle) e quindi non so minimamente come funzionano se non che preso uno spazio vettoriale la sua affinità è parallela ad esso e non passa per l'origine.

[Angus1956]

"megas_archon":sottospazio dei punti della forma\(a+v\) con \(v\in T_aM\), spazio che puoi determinare...

Non dovrebbbe essere $a+tv$ con $vinT_aM$ e $tinRR$

[megas_archon]

Beh, no, come si scrive una classe laterale? Quando vuoi scrivere quali elementi appartengono a \(a+T_aM=\{a+v\mid v\in T_aM\}\), pre-pendere un numero reale che riscala $v$ non ha alcun effetto sul risultato.

[Angus1956]

"megas_archon":Beh, no, come si scrive una classe laterale?

Non le ho fatte ahahhaahhah.
Comunque io avevo pensato ad una cosa del genere (preso $a=(1,1/sqrt(2),1/2)$):
$\{(x=1-t),(y=1/sqrt(2)+sqrt(2)t),(z=1/2-t):}$

[megas_archon]

La sostanza del discorso è che $M$ è il luogo degli zeri della mappa \(F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 : (x,y,z)\mapsto (x^2-2z,x^2+y^2-z-1)\), e trovandone lo jacobiano ti viene \(JF = \left(\begin{smallmatrix}
2x & 0 & -2 \\
2x & 2y & -1
\end{smallmatrix}\right)\) e ora nel generico punto $a$ ...

[Angus1956]

Allora aspetta mi sto un po' perdendo.
Preso $a=(1,1/sqrt(2),1/2)$ io so che $ T_aM=span{((-1),(sqrt(2)),(-1))}$ (che sarebbe il nucleo della Jacobiana di $f$ calcolata in $a$). Ora in teoria $a+T_aM$ non dovrebbe essere uguale a: $((1),(1/sqrt(2)),(1/2))+t((-1),(sqrt(2)),(-1))$ con $tinRR$?