L'arbitrarietà di \( \varepsilon \) per mostrare uguaglianze
In questo thread chiedo chiarimenti su un argomento che viene utilizzato in alcune dimostrazioni di Analisi.
In pratica si sostiene che se \( a \) e \( b \) sono numeri reali e per ogni \( \varepsilon > 0 \) si ha
\[ |a-b| < \varepsilon \]
allora, per l'arbitrarietà di \( \varepsilon \), si ha che \( a = b \).
Ma perché?
In pratica si sostiene che se \( a \) e \( b \) sono numeri reali e per ogni \( \varepsilon > 0 \) si ha
\[ |a-b| < \varepsilon \]
allora, per l'arbitrarietà di \( \varepsilon \), si ha che \( a = b \).
Ma perché?
Risposte
Il senso è che ad $\varepsilon$ puoi sostituire qualsiasi cosa, per cui, ad esempio, qualsiasi potenza del tipo $10^{-n}$ (al posto di $10$ puoi usare una qualsiasi base positiva, comunque) con $n\in NN$. Da ciò segue che se per ogni possibile $\varepsilon$ si ha $|a-b|<\varespilon$ che può essere ripensato come $b-\varespilon< a< b+\varepsilon$, allora con le scelte che ho detto prima puoi scrivere
$$b-10^{-n}
$$b-0,1
$$b-10^{-n}
$$b-0,1
Forse ho trovato un modo per dimostrarlo.
Ipotesi: Per ogni \( \varepsilon > 0 \), si ha
\[ |a-b| < \varepsilon \]
Tesi: \( a = b \).
Dimostrazione.
Per assurdo, sia \( a \ne b \). Poiché \( a \ne b \), allora \( |a-b|>0 \), quindi esiste un numero reale \( c \) tale che \( 0 < c < |a-b| \). Se io scelgo \( \varepsilon = c \), ottengo \( |a-b| > \varepsilon \), assurdo.
Che te ne pare?
Ipotesi: Per ogni \( \varepsilon > 0 \), si ha
\[ |a-b| < \varepsilon \]
Tesi: \( a = b \).
Dimostrazione.
Per assurdo, sia \( a \ne b \). Poiché \( a \ne b \), allora \( |a-b|>0 \), quindi esiste un numero reale \( c \) tale che \( 0 < c < |a-b| \). Se io scelgo \( \varepsilon = c \), ottengo \( |a-b| > \varepsilon \), assurdo.
Che te ne pare?
O anche...
Dim.: Per definizione è \(|a-b|\geq 0\). Mostriamo che \(|a-b|=0\).
Per assurdo, supponiamo \(|a-b|>0\). Per ipotesi, in corrispondenza di \(\varepsilon := \frac{1}{2} |a-b|>0\) dovremmo trovare \(|a-b|<\frac{1}{2} |a-b|\), i.e. \(|a-b|<0\), il che è palesemente assurdo.
Pertanto \(|a-b|=0\), ossia \(a=b\). \(\square\)
[E questo argomento mostra inconfutabilmente che, nella più comune sistemazione teorica del Calcolo, gli infinitesimi (intesi "à la Leibniz", ossia quantità più piccole in modulo di ogni numero positivo) non esistono.]
Dim.: Per definizione è \(|a-b|\geq 0\). Mostriamo che \(|a-b|=0\).
Per assurdo, supponiamo \(|a-b|>0\). Per ipotesi, in corrispondenza di \(\varepsilon := \frac{1}{2} |a-b|>0\) dovremmo trovare \(|a-b|<\frac{1}{2} |a-b|\), i.e. \(|a-b|<0\), il che è palesemente assurdo.
Pertanto \(|a-b|=0\), ossia \(a=b\). \(\square\)
[E questo argomento mostra inconfutabilmente che, nella più comune sistemazione teorica del Calcolo, gli infinitesimi (intesi "à la Leibniz", ossia quantità più piccole in modulo di ogni numero positivo) non esistono.]
Immagino che quell'"O anche" voglia dire sì.
Bella anche la tua dimostrazione, ma ciò che più mi è piaciuto è la chiosa finale.
Bella anche la tua dimostrazione, ma ciò che più mi è piaciuto è la chiosa finale.
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