Lapsus..aiutatemi
Ciao a tutti amici,
ho un dubbio clamoroso(oltre che stupido)
la sucessione di funzioni:
Fn(t)=t^(n-1) è definita per t<1?
la domanda equivarrebbe a:esiste l'esponenziale con base negativa?
chiedo scusa a tutti pe rquesto momentaneo lapsus personale e ringrazio tutti coloro che con pazienza mi risponderanno.
grazie.
michele.
ho un dubbio clamoroso(oltre che stupido)
la sucessione di funzioni:
Fn(t)=t^(n-1) è definita per t<1?
la domanda equivarrebbe a:esiste l'esponenziale con base negativa?
chiedo scusa a tutti pe rquesto momentaneo lapsus personale e ringrazio tutti coloro che con pazienza mi risponderanno.
grazie.
michele.
Risposte
Ma le funzioni di una successione di funzioni devono avere tutte lo stesso dominio?
In generale l'esponenziale si considera con base positiva non nulla e diversa da 1. Questo perchè puoi parlare dii $(-2)^n$ per $n in NN$ ma quando passi ad $RR$ tramite completamento l'espressione perde di significato.
Chiedo scusa se metto becco in ciò che non è mia competenza.
Ma vorrei dire due cose, che sono più delle domande per curiosità che delle risposte.
1) Perché è necessario che le funzioni della successione abbiano un dominio comune? Secondo la definizione di successione, io potrei anche prendere delle funzioni che non hanno tutte lo stesso dominio. Quindi da dove viene fuori questa esigenza di prendere per forza le funzioni con lo stesso dominio?
2) Trattandosi di $n \in NN$, poiché si sta parlando di una successione, non andrebbe bene come dominio comune $RR - {0}$? Tanto male che vada viene fuori o un $-1$ o uno $0$ all'esponente.
Grazie e scusatemi per l'ignoranza.
Ma vorrei dire due cose, che sono più delle domande per curiosità che delle risposte.
1) Perché è necessario che le funzioni della successione abbiano un dominio comune? Secondo la definizione di successione, io potrei anche prendere delle funzioni che non hanno tutte lo stesso dominio. Quindi da dove viene fuori questa esigenza di prendere per forza le funzioni con lo stesso dominio?
2) Trattandosi di $n \in NN$, poiché si sta parlando di una successione, non andrebbe bene come dominio comune $RR - {0}$? Tanto male che vada viene fuori o un $-1$ o uno $0$ all'esponente.
Grazie e scusatemi per l'ignoranza.
1) Perché se non hanno un dominio comune la funzione limite potrebbe non avere un dominio.
Due esempi (estremi):
(i) Prendi $f_n : ] 0 , 1/n [ \to RR$ definita da $f_n(x) = 1$. Questa successione ha chiaramente limite $1$, ma su quale dominio? Il limite dei domini è l'insieme vuoto!!! (Questo esempio è volutamente triviale perché il dominio può essere allargato, ma avrei potuto modificare opportunamente una $f_n$ che esplode in $0$ e $1/n$, del tipo $f_n(x) = 1/x * 1/(1/n - x)$ - o $ln(x) + ln(1/n - x)$ in modo che fuori da $] 0 , 1/n [$ non ha proprio senso - e allora non si sarebbe potuto fare nulla)
(ii) Prendi $f_{2n}$ definita su un certo dominio e $f_{2n + 1}$ definita sul suo complementare: tipo $f_{2n}(x) = 1/2n * ln(x)$, $f_{2n + 1}(x) = 1/(2n + 1) * ln(-x)$. Vorremmo dire che il limite esiste e fa $0$, ma su quale dominio?
Due esempi (estremi):
(i) Prendi $f_n : ] 0 , 1/n [ \to RR$ definita da $f_n(x) = 1$. Questa successione ha chiaramente limite $1$, ma su quale dominio? Il limite dei domini è l'insieme vuoto!!! (Questo esempio è volutamente triviale perché il dominio può essere allargato, ma avrei potuto modificare opportunamente una $f_n$ che esplode in $0$ e $1/n$, del tipo $f_n(x) = 1/x * 1/(1/n - x)$ - o $ln(x) + ln(1/n - x)$ in modo che fuori da $] 0 , 1/n [$ non ha proprio senso - e allora non si sarebbe potuto fare nulla)
(ii) Prendi $f_{2n}$ definita su un certo dominio e $f_{2n + 1}$ definita sul suo complementare: tipo $f_{2n}(x) = 1/2n * ln(x)$, $f_{2n + 1}(x) = 1/(2n + 1) * ln(-x)$. Vorremmo dire che il limite esiste e fa $0$, ma su quale dominio?
Irenze, permettimi di dissentire.
Ma una successione di funzioni potrebbe benissimo non avere limite.
Detto brutalmente, "successione di funzioni" per me (per me) significa che ad ogni $n in NN$ viene associata una funzione $f_n:D_n to C_n$ di dominio $D_n$ e codominio $C_n$.
Non so se in analisi ci sono convenzioni particolari secondo cui le funzioni di una stessa successione siano definite sullo stesso dominio, è possibile.
"irenze":
1) Perché se non hanno un dominio comune la funzione limite potrebbe non avere un dominio.
Ma una successione di funzioni potrebbe benissimo non avere limite.
Detto brutalmente, "successione di funzioni" per me (per me) significa che ad ogni $n in NN$ viene associata una funzione $f_n:D_n to C_n$ di dominio $D_n$ e codominio $C_n$.
Non so se in analisi ci sono convenzioni particolari secondo cui le funzioni di una stessa successione siano definite sullo stesso dominio, è possibile.
Giusti nel suo libro analisi matematica 2 dice "In molti casi, invece che numeri reali, i termini di una successione o di una serie sono delle funzioni, tutte definite in un insieme $EinRR^k$ e a valori in $RR^n$"
"rubik":
Giusti nel suo libro analisi matematica 2 dice "In molti casi, invece che numeri reali, i termini di una successione o di una serie sono delle funzioni, tutte definite in un insieme $EinRR^k$ e a valori in $RR^n$"
Ok, benissimo
Quindi diciamo che:
a) in ambito puramente algebrico, prendendo la definizione formale di successione, una successione di funzioni può avere anche funzioni con domini diversi
b) in ambito analitico, dovendo lavorare con queste successioni di funzioni in un determinato modo, assumiamo che le funzioni della successione abbiano medesimo dominio
E' giusto quel che ho scritto o sono in errore?
a) in ambito puramente algebrico, prendendo la definizione formale di successione, una successione di funzioni può avere anche funzioni con domini diversi
b) in ambito analitico, dovendo lavorare con queste successioni di funzioni in un determinato modo, assumiamo che le funzioni della successione abbiano medesimo dominio
E' giusto quel che ho scritto o sono in errore?
Lo so che sono irritante, ma io continuo a non capire e se non ve lo dico scoppio
Da quello che avete detto, significa che se ho una successione di funzioni e queste funzioni non hanno tutte lo stesso dominio allora è sbagliato dire che una successione di funzioni?
Da quello che avete detto, significa che se ho una successione di funzioni e queste funzioni non hanno tutte lo stesso dominio allora è sbagliato dire che una successione di funzioni?
Non sono d'accordo. Le successioni di funzioni le prendiamo come ci pare anche in analisi. Solo che se non hanno tutte lo stesso dominio quando si passa al limite il dominio della funzione limite (anche solo puntuale) può assumere forme poco PRATICHE. Tanto è vero che se ben ricordo quando si studiano le successioni di funzioni i primi controesempi si fanno tutti con successioni di funzioni tipo quelle che ha detto irenze. Per la serie: se vuoi fare un controesempio ad una cosa facile pensa alla cosa più astrusa che ti venga in mente.
Attenzione che se ad esempio i domini sono una catena discendente al crescere di n questa potrebbe stabilizzarsi su un certo sottoinsieme di tutti i domini o potrebbe diventare vuota "all'infinito". Nel primo caso può darsi che una successione di funzioni con domini diversi tenda (anche uniformemente volendo) ad una funzione "di tutto rispetto..." con un suo dominio altrettanto onorevole... baciamo le mani...
Attenzione che se ad esempio i domini sono una catena discendente al crescere di n questa potrebbe stabilizzarsi su un certo sottoinsieme di tutti i domini o potrebbe diventare vuota "all'infinito". Nel primo caso può darsi che una successione di funzioni con domini diversi tenda (anche uniformemente volendo) ad una funzione "di tutto rispetto..." con un suo dominio altrettanto onorevole... baciamo le mani...
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