Laplaciano di una funzione ...
Cari ragazzi stamane nel corso di una spiegazione è stato introdotto il laplaciano di una funzione $ RR ^n -> RR $ , come la traccia dell'hessiana collegata a quella matrice , ma proprio non riesco a trovarvi una qualche utilità . Potreste , gentilmente , illuminarmi a riguardo , con qualche esempio circa l'utilizzo che se ne può fare ??
Risposte
Qui trovi una spiegazione su cosa sia e dove sia impiegato il Laplaciano
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_Laplace
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_Laplace
Se hai già seguito qualche corso di Fisica 2 o di Fisica Matematica dovresti aver incontrato il laplaciano parecchie volte...
Se ancora non lo hai fatto, fallo
Se ancora non lo hai fatto, fallo
"Rigel":
Se hai già seguito qualche corso di Fisica 2 o di Fisica Matematica dovresti aver incontrato il laplaciano parecchie volte...
Se ancora non lo hai fatto, fallo
Aspettiamo con ansia per vederne l'utilità!
Non ho seguito , almeno sino ad ora , corsi di fisica II o fisica matematica ! Comunque la pagina di wiki è abbastanza chiara a riguardo !
Un esempio semplice- Equazione di Laplace [ $n=3 $]
$Delta u(x,y,z) =0 $ che esplicitando diventa $(del^2 u)/(del x^2) +(del^2 u)/(del y^2) + (del^2 u)/(del z^2) =0 $
è soddisfatta dal potenziale elettrostatico ( o gravitazionale ) $u (x,y,z) $ nei punti dello spazio privi di carica elettrica ( o di materia rispettivamente) .
In generale si dice operatore di Laplace ( o laplaciano ) l'operatore differenziale ( in $n $ variabili ) :
$Delta = sum _ (i=1)^n (del^2)/(del x_i^2)$
e le funzioni che soddisfano l'equazione $Delta u =0 $ si dicono funzioni armoniche.
$Delta u(x,y,z) =0 $ che esplicitando diventa $(del^2 u)/(del x^2) +(del^2 u)/(del y^2) + (del^2 u)/(del z^2) =0 $
è soddisfatta dal potenziale elettrostatico ( o gravitazionale ) $u (x,y,z) $ nei punti dello spazio privi di carica elettrica ( o di materia rispettivamente) .
In generale si dice operatore di Laplace ( o laplaciano ) l'operatore differenziale ( in $n $ variabili ) :
$Delta = sum _ (i=1)^n (del^2)/(del x_i^2)$
e le funzioni che soddisfano l'equazione $Delta u =0 $ si dicono funzioni armoniche.
"Camillo":
Un esempio semplice- Equazione di Laplace [ $n=3 $]
$Delta u(x,y,z) =0 $ che esplicitando diventa $(del^2 u)/(del x^2) +(del^2 u)/(del y^2) + (del^2 u)/(del z^2) =0 $
è soddisfatta dal potenziale elettrostatico ( o gravitazionale ) $u (x,y,z) $ nei punti dello spazio privi di carica elettrica ( o di materia rispettivamente) .
In generale si dice operatore di Laplace ( o laplaciano ) l'operatore differenziale ( in $n $ variabili ) :
$Delta = sum _ (i=1)^n (del^2)/(del x_i^2)$
e le funzioni che soddisfano l'equazione $Delta u =0 $ si dicono funzioni armoniche.
Camillo , mi puoi dire qualcosa a riguardo di queste funzioni armoniche ??? Chiedo scusa per la petulanza ma ora son troppo curioso di saperne di più !
"menale":In Fisica il Laplaciano spunta ovunque: dai un'occhiata a Feynman, Lectures on physics, vol.II, cap.12 (guarda in particolare modo l'ultimo paragrafo - 12.7 "The underlying unity of nature").
Cari ragazzi stamane nel corso di una spiegazione è stato introdotto il laplaciano di una funzione $ RR ^n -> RR $ , come la traccia dell'hessiana collegata a quella matrice , ma proprio non riesco a trovarvi una qualche utilità .
Esistono interpretazioni del Laplaciano molto utili per l'intuizione: il Laplaciano, infatti, è la versione locale dell'operazione di "media sferica"
\[\langle f \rangle_r(\mathbf{x}_0)=\int_{\mathbb{S}^{n-1}}f(\mathbf{x}_0+r\mathbf{y})dS(\mathbf{y}),\]
(leggi: la media dei valori assunti da \(f\) sulla superficie sferica di centro \(\mathbf{x}_0\) e raggio \(r\)). Se ne parlava qualche tempo fa qui.
Operazione "media sferica" ?:( COsa si intende ? 
P.S. chiedo venia per le tante domande !
P.S. chiedo venia per le tante domande !
"dissonance":
(leggi: la media dei valori assunti da \(f\) sulla superficie sferica di centro \(\mathbf{x}_0\) e raggio \(r\))
Questo si intende con "media sferica".
Rifletti un po' (se vuoi eh) sul fatto che l'operazione di integrale altro non è se non una maniera di prendere i valori medi delle funzioni. Questo vale in ogni dimensione: dalla più classica "media integrale" dell'analisi uno
\[\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\]
fino alla media sferica, passando per circuitazioni lungo linee e flussi attraverso superfici. Tutti "valori medi", in un certo senso.
"dissonance":
[quote="dissonance"](leggi: la media dei valori assunti da \(f\) sulla superficie sferica di centro \(\mathbf{x}_0\) e raggio \(r\).
Questo si intende con "media sferica".
Rifletti un po' (se vuoi eh) sul fatto che l'operazione di integrale altro non è se non una maniera di prendere i valori medi delle funzioni. Questo vale in ogni dimensione: dalla più classica "media integrale" dell'analisi uno
\[\frac{1}{b-a}\ \int_a^b f(x)\text{d} x\]
fino alla media sferica, passando per circuitazioni lungo linee e flussi attraverso superfici. Tutti "valori medi", in un certo senso.[/quote]
Si , è proprio una considerazione interessante
Non avevo mai pensato a questa "sfaccettatura" dell'integrale !
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