Laplaciano

[lavanda1]

ciao
qualcuno sa come si dimostra che il laplaciano è invariante per rotazioni?

[Luc@s]

direi che $\nabla^2f$ è invariante per rotazioni poichè perchè è la traccia di una matrice simmetrica(l'essiano)

[gugo82]

"lavanda":qualcuno sa come si dimostra che il laplaciano è invariante per rotazioni?

Si dimostra alla vecchia maniera: mettendo penna su foglio e facendo i calcoli.

Prendi $f in C^2(RR^n)$, fissi una matrice ortogonale speciale $O=(o_i^k)$ d'ordine $n$ e poni $g(x):=f(O*x)$: per noti fatti $g \in C^2(RR^n)$ e derivando m.a.m. rispetto ad $x_i$ (per $i=1,\ldots ,n$) l'uguaglianza che definisce $g$ trovi:

$(\partial g)/(\partial x_i)(x)=\sum_(k=1)^n o_i^k (\partial f)/(\partial y_k)(O*x)\quad$;

derivando di nuovo trovi:

$(\partial^2 g)/(\partial x_i^2)(x)=\sum_(k=1)^n o_i^k (\partial)/(\partial x_i)[(\partial f)/(\partial y_k)(O*x)]=\sum_(k=1)^no_i^k*\sum_(h=1)^n o_i^h (\partial^2f)/(\partial y_h \partial y_k)(O*x) \quad$.

Sommando le derivate seconde pure di $g$ trovi:

$Delta_x g(x)=\sum_(i=1)^n (\partial^2 g)/(\partial x_i^2)(x)=\sum_(i=1)^n \sum_(k,h=1)^n o_i^k*o_i^h (\partial^2f)/(\partial y_h \partial y_k)(O*x)=\sum_(k,h=1)^n [\sum_(i=1)^n o_i^k*o_i^h] (\partial^2f)/(\partial y_h \partial y_k)(O*x) \quad$,

da cui, ricordando che $O^t=O^(-1)$, ossia che $\sum_(i=1)^n o_i^k*o_i^h=delta_h^k$ (delta di Kronecker), trai immediatamente:

$Delta_x g(x)=\sum_(j,h=1)^n delta_h^k (\partial^2f)/(\partial y_h\partial y_k)(O*x)=Delta_y f(y)$

ove si è posto $y=O*x$.

"Luc@s":[...] una matrice simmetrica (l'essiano)

"Hessiano" è il determinante, "hessiana" la matrice.