Landau e asintotico.

[lorandrum]

Buondì a tutti.
Espongo brevemente i miei problemi relativo al calcolo dei limiti:

-conosco la definizione del simbolo di Landau, altrimenti detto "o piccolo", ma ignoro completamente in che modo venga utilizzato, il suo significato operativo. La mia prof parlava di una sorta di "cestino", da cui comprendo che o piccolo sia qualcosa di trascurabile e che semplifichi in qualche modo miei calcoli.
Potete descrivermi in che modo si utilizza o-piccolo? (meglio senza circonvoluzioni formalistiche, anzi proprio rudemente, mi interessa capirlo in modo intuitivo). Se mi mettete degli esempi smaccatamente pratici mi farete un favore grandissimo.

-e poi, esiste una tebella di tutte le relazioni di asintotico?

Thanks in advance.

[Sk_Anonymous]

Supponi di dover calcolare il limite per x che tende a 0 di (e^x-1)/x (che notoriamente fa 1). Sai che e^x=1+x+o(x); allora e^x-1=x+o(x) da cui (e^x-1)/x=1+o(x)/x che tende a 1 per x che tende a 0, per definizione di o piccolo.

Luca77

[lorandrum]

Grazie mille.
Ma mi sa che devo approfondire di molto la faccenda. Conosci qualche sito che tratti l'argomento in modo esaustivo (magari con tutta l'algebra di o piccolo, ecc..)?

[Sk_Anonymous]

Qualche sito no, io non ne conosco. Comunque un buon eserciziario di Analisi I ti chiarira' sicuramente le idee.

Luca77
http://www.llussardi.it

[lorandrum]

Te ne sono comunque grato.
Posso romperti le balle ancora per un po'? Ho certi limiti che non riesco a far quadrare:


x^2[ln(1+x^2)-arctan(1/x)] per x-->infinito

x{exp[(2x+(-1)^x)/(x^2-1)]-1} per x-->infinito

arctan[(e^x-x^7)/(e^x+x)] per x-->infinito


Tra l'altro è possibile usare gli o-piccoli?
E perdonami se ti risulto indiscreto [:D]

[fireball1]

Il testo del secondo limite non lo capisco;
il primo non presenta alcuna difficoltà: basta sostituire
inf al posto di x e si ottiene +inf*(+inf - 0) = +inf*(+inf) = +inf ;

Il terzo pure è facile: basta applicare la regola di De L'Hopital
all'argomento dell'arcotangente: derivando 7 volte numeratore e
denominatore si ottiene: (e^x - 5040)/e^x = 1 - 5040/e^x
Di questa funzione, non esiste il limite per x->inf, ma esiste il lim
per x->+inf e per x->-inf, e sono due risultati diversi: per x->+inf,
il limite viene 1, per x->-inf viene -inf ; tutto questo perché
e^x si comporta in due modi diversi, perché tende a zero
per x->-inf e tende a +inf per x->+inf. Dunque i risultati finali sono:
arctg(1) = pi/4 per x->+inf
arctg(-inf) = -pi/2 per x->-inf

[lorandrum]

Sei gentilissimo fireball (cosa non ti è chiaro del secondo limite?).
Farò una domanda probabilmente idiota ma...che differenza c'è tra infinito e +infinito??

[Sk_Anonymous]

Infinito non e' definito, mentre +(o -) infinito si'. Molti dicono, ad esempio, che la funzione 1/x ha limite infinito per x che tende a 0. In realta' tale funzione non ha limite per x che tende a 0, in quanto il limite destro vale +infinito, mentre il limite sinistro vale -infinito. In Analisi non vi e' alcuna definizione di limite infinito.

Luca77
http://www.llussardi.it

[fireball1]

quote:

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Originally posted by lorandrum

cosa non ti è chiaro del secondo limite?

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Il testo.

[Nidhogg]

Fire, ma tutto o solo qualcosa? Exp?

Ciao, Ermanno.

[fireball1]

Credo che exp voglia dire "e elevato alla ..." vero?
Se è così allora l'ho capito... In caso lo guardo più tardi.

[Nidhogg]

Si hai capito!

Ciao, Ermanno.

[fireball1]

Ma se è così il limite viene un po' incasinato...

[Sk_Anonymous]

In effetti qualcosa che non va sul testo del secondo limite postato c'e': (-1)^x non e' una quantita' definita per x reale. Ad esempio, non esiste per x=3/2. Non e' che era il limite di una successione che hai "trasformato" nel limite di una funzione mettendo x al posto di n?

Luca77
http://www.llussardi.it

[lorandrum]

Sì, ora che ci penso hai proprio ragione.
(scusate se edito ma avevo scritto una cazzata)

[Sk_Anonymous]

Allora, se si tratta del limite di una successione, e' abbastanza semplice: infatti tieni conto del fatto noto che (e^x-1)/x che tende a 1 per x che tende a 0. Il tuo esponente di e tende a 0, per cui il tutto e' asintotico a n(2n+(-1)^n)/(n^2-1) che diventa il rapporto di due polinomi dello stesso grado, il quale tende quindi a 2, rapporto dei coefficienti direttivi.

Luca77
http://www.llussardi.it