Lampione in un parco triangolare
Salve a tutti, vorrei proporre questo quesito tratto dal testo del matematico pedagogista G. Polya, a cui ho dato una mia risposta ma è risultata opinabile.
Il quesito è:
"In un parco triangolare si deve installare un lampione. Determinare la posizione migliore."
Ora, al di là delle solite semplificazioni da farsi nei passaggi modello reale $->$ modello fisico $->$ modello matematico, cioè il parco è un triangolo perfettamente pianeggiante, il lampione è una sorgente luminosa puntiforme etc... ho assunto che la soluzione sia:
il centro del cerchio di raggio minimo che ricopra l'intero triangolo.
ossia, se $Pi$ è il piano euclideo, $T sub Pi$ è il triangolo, $B(X,r) sub Pi$ è il cerchio di centro $X in Pi$ e raggio $r in RR$, allora la soluzione è $X_0=min_(X in Pi){B(X,r)|r in RR ^^ B(X,r) supe T}$.
Ho provato (in parte) che la soluzione esiste ed è unica, ed è:
1) Se il triangolo è ottusangolo, è il punto medio del lato opposto all'angolo ottuso
2) Se il triangolo è rettangolo, è il punto medio dell'ipotenusa
3) Se il triangolo è acutangolo, è il circocentro. (congettura)
---
Mi è stato però contestato che la modellizzazione non è del tutto aderente al modello fisico in quanto trascura fatti fisici come la decadenza dell'intensità luminosa col quadrato del raggio. Se si tiene conto di questo verrebbe fuori il baricentro come soluzione.
Ora vi chiedo:
i) potete provare a dimostrare (o confutare) i punti 1),2),3)?
ii) proporreste soluzioni diverse da quelle che ho dato io? (che magari tengano conto di altri parametri relativamente al problema, volutamente ambiguo?)
Il quesito è:
"In un parco triangolare si deve installare un lampione. Determinare la posizione migliore."
Ora, al di là delle solite semplificazioni da farsi nei passaggi modello reale $->$ modello fisico $->$ modello matematico, cioè il parco è un triangolo perfettamente pianeggiante, il lampione è una sorgente luminosa puntiforme etc... ho assunto che la soluzione sia:
il centro del cerchio di raggio minimo che ricopra l'intero triangolo.
ossia, se $Pi$ è il piano euclideo, $T sub Pi$ è il triangolo, $B(X,r) sub Pi$ è il cerchio di centro $X in Pi$ e raggio $r in RR$, allora la soluzione è $X_0=min_(X in Pi){B(X,r)|r in RR ^^ B(X,r) supe T}$.
Ho provato (in parte) che la soluzione esiste ed è unica, ed è:
1) Se il triangolo è ottusangolo, è il punto medio del lato opposto all'angolo ottuso
2) Se il triangolo è rettangolo, è il punto medio dell'ipotenusa
3) Se il triangolo è acutangolo, è il circocentro. (congettura)
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Mi è stato però contestato che la modellizzazione non è del tutto aderente al modello fisico in quanto trascura fatti fisici come la decadenza dell'intensità luminosa col quadrato del raggio. Se si tiene conto di questo verrebbe fuori il baricentro come soluzione.
Ora vi chiedo:
i) potete provare a dimostrare (o confutare) i punti 1),2),3)?
ii) proporreste soluzioni diverse da quelle che ho dato io? (che magari tengano conto di altri parametri relativamente al problema, volutamente ambiguo?)
Risposte
Perché nessuno mi calcola? 
Intuitivamente mi verrebbe da rispondere al centro del triangolo, però, ahimé, per mia limitatezza, non sono in grado di portare avanti il discorso in modo rigoroso.
P.S.: problema interessante; se trovi la soluzione definitiva, mi farebbe piacere leggerla.
P.S.: problema interessante; se trovi la soluzione definitiva, mi farebbe piacere leggerla.
"WiZaRd":
Intuitivamente mi verrebbe da rispondere al centro del triangolo, però, ahimé, per mia limitatezza, non sono in grado di portare avanti il discorso in modo rigoroso.
P.S.: problema interessante; se trovi la soluzione definitiva, mi farebbe piacere leggerla.
Quoto in pieno.
Paolo
cosa intendete ocn "centro del triangolo"? il baricentro?
Io si.
facendo qualche triangolo, è la risposta che sembra essere più ovvia, ma così, ad occhio. Bisognerebbe dimostrarlo.
Mi iacerebbe vedere le dimostrazioni di Zorn, che invece smentiscono questa ipotesi
Mi iacerebbe vedere le dimostrazioni di Zorn, che invece smentiscono questa ipotesi
"WiZaRd":
Io si.
Sì, anche io.
Ragionate: devo piazzare un lampione in un punto tale che la luce raggiunga tutti e tre i vertici. Quindi il punto dovrà essere equidistante dai tre vertici. Qual è quel punto che gode di questa proprietà? 
Il punto d'incontro degli assi dei lati?
Però non è detto che sia interno al triangolo, mentre nel caso del problema deve esserlo.
Dov'è che sbaglio?
Però non è detto che sia interno al triangolo, mentre nel caso del problema deve esserlo.
Dov'è che sbaglio?
"WiZaRd":
Il punto d'incontro degli assi dei lati?
Però non è detto che sia interno al triangolo, mentre nel caso del problema deve esserlo.
Dov'è che sbaglio?
Giusto, non avevo letto attentamente il primo post.
Rileggendo mi rendo conto che il testo è ambiguo.
Cosa si intende per posizione migliore? Migliore sotto quale aspetto?
Inoltre dovrei conoscere la luminosità del lampione.
Senza queste informazioni, per mettermi al sicuro, se fossi il sindaco, sceglierei l'incentro, intersezioni delle bisettrici, almeno sarei sicuro che una bella zona sia illuminata; poi se nelle vicinanze dei vertici fosse troppo buio ci metterei i poliziotti di quartiere
Cosa si intende per posizione migliore? Migliore sotto quale aspetto?
Inoltre dovrei conoscere la luminosità del lampione.
Senza queste informazioni, per mettermi al sicuro, se fossi il sindaco, sceglierei l'incentro, intersezioni delle bisettrici, almeno sarei sicuro che una bella zona sia illuminata; poi se nelle vicinanze dei vertici fosse troppo buio ci metterei i poliziotti di quartiere
Vedete, il problema è proprio capire che si intende per migliore (perché il testo di fatto è a interpretazione soggettiva). Io ho dato una mia interpretazione di migliore, qualcun altro dice baricentro (perché è un punto che gode di certe proprietà), laura todisco parla di un altro punto notevole...
X laura todisco: sì, è volutamente ambiguo. Bisogna modellizzarlo in maniera aderente alla realtà.
X raff5184: io non smentisco niente, ho solo trovato risposta a un problema di minimo come l'ho interpretato io.
La dimostrazione nei casi a), b) è semplice tra l'altro, e risponde a un problema matematico preciso.
Praticamente, il cerchio, per contenere tutto il triangolo, deve contenere tutto il lato opposto all'angolo ottuso (retto). Quindi, se $a$ è la lunghezza di tale lato, il raggio di un cerchio che contiene il triangolo è almeno $a/2$, si vede geometricamente che il cerchio di centro il punto medio di tale lato e raggio $a/2$ contiene anche il vertice opposto quindi tutto il triangolo (essendo il cerchio un convesso).
Per il caso c) ho congetturato una dipendenza continua dai dati (gli angoli), e ho pensato sia il circocentro perché nel caso retto, tra ottuso e acuto, esso coincide proprio col punto medio dell'ipotenusa.
X laura todisco: sì, è volutamente ambiguo. Bisogna modellizzarlo in maniera aderente alla realtà.
X raff5184: io non smentisco niente, ho solo trovato risposta a un problema di minimo come l'ho interpretato io.
La dimostrazione nei casi a), b) è semplice tra l'altro, e risponde a un problema matematico preciso.
Praticamente, il cerchio, per contenere tutto il triangolo, deve contenere tutto il lato opposto all'angolo ottuso (retto). Quindi, se $a$ è la lunghezza di tale lato, il raggio di un cerchio che contiene il triangolo è almeno $a/2$, si vede geometricamente che il cerchio di centro il punto medio di tale lato e raggio $a/2$ contiene anche il vertice opposto quindi tutto il triangolo (essendo il cerchio un convesso).
Per il caso c) ho congetturato una dipendenza continua dai dati (gli angoli), e ho pensato sia il circocentro perché nel caso retto, tra ottuso e acuto, esso coincide proprio col punto medio dell'ipotenusa.
Wizard
Il punto d'incontro degli assi dei lati?
Però non è detto che sia interno al triangolo, mentre nel caso del problema deve esserlo.
Dov'è che sbaglio?
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Non credo esista questo vincolo, io lo metto pure sul lato. Anche se certo nella realtà sarebbe piuttosto strano...
Il punto d'incontro degli assi dei lati?
Però non è detto che sia interno al triangolo, mentre nel caso del problema deve esserlo.
Dov'è che sbaglio?
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Non credo esista questo vincolo, io lo metto pure sul lato. Anche se certo nella realtà sarebbe piuttosto strano...
Stavo riscrivendo il mio post, ma avete già risposto prima che avessi terminato.
"laura.todisco":
Ragionate: devo piazzare un lampione in un punto tale che la luce raggiunga tutti e tre i vertici.
Data l'ambiguità, allora un altro criterio è quello di piazzare il lampione in modo t.c. esso illumini quanta più superficie possibile... Come mi pare che hai fatto capire in un post successivo... giusto?
o magari trovare un buon compromesso tra i due criteri! Tutti gli angoli illuminati e illuminare quanta più superficie possibile
Ecco raff5184... così devi senz'altro tener conto del fatto che l'intensità luminosa decade col quadrato del raggio... anche se la soluzione non sembra semplice...
Ricordate che il lampione in teoria illumina tutto il piano (seppur per l'occhio umano sotto una certa soglia è buio).
"zorn":
Ecco raff5184... così devi senz'altro tener conto del fatto che l'intensità luminosa decade col quadrato del raggio... anche se la soluzione non sembra semplice...
Sarebbe errato, quindi, se nel mio ragionamento (ottimizzare con 2 criteri) ipotizzassi di trascurare l'attenuazione dell'intensità lumionosa?? in altre parole, questa assunzione contrasta con il fatto che si cerca di fare in modo che il lampione illumini quanta più superficie possibile?
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