La teoria dell'integrazione in Cauchy e in Riemann

[feldspato1]

In diversi libri di analisi ( utilizzati spesso nei corsi di laurea in matematica e in fisica) vi è spesso una nota storica al termine del capitolo dedicato al calcolo infinitesimale in cui viene esposta l' evoluzione storica del concetto di integrale da Cauchy a Riemann . In queste note storiche viene fatta emergere in particolar modo l'erronea definizione di integrale come limite delle somme integrali superiori ed inferiori ( somme di Cauchy) ; a questo riguardo si approfondice il significato di partizione P di un intervallo .
Leggendo gli approfondimenti storici ( parlo del libro di analisi del Giusti ) si accenna all' importanza del concetto di uniforme continuità per l' integrazione ma non si va molto nel profondo ;
Qualcuno di voi potrebbe esporre l' importanza dell' uniforme continuità nell' integrazione marcando (sfruttando proprio il concetto di uniforme continuità) la differenza tra l' integrazione secondo Cauchy e l' integrazione secondo Riemann ?
Vi ringrazio

[Rigel1]

La definizione di integrale di Cauchy non è erronea; semplicemente, vale solo per le funzioni continue.
L'importanza dell'uniforme continuità la vedi subito se vai a leggere la dimostrazione dell'integrabilità (alla Riemann) delle funzioni continue.
Su questo "dettaglio" Cauchy, in effetti, aveva sorvolato un po', ma visti i suoi meriti non mi sembra lo si possa crocifiggere solo per questo

[feldspato1]

ho usato il termine erroneo soltanto per dar più rilievo a quanto stavo affermando ;cito testualmente dal Giusti:
"La defininizione (data da Cauchy ) è suggestiva , ma soggetta a una serie di inconvenienti...[..] sfugge a quel tempo la differenza tra continuità semplice e uniforme.Inoltre si deve osservare che la somma S(somma di Cauchy) dipende dalla partizione P e non solamente dall' ampiezza di P, e dunque a rigore non ha senso il limite di S quando l' ampiezza tende a zero".
Ho studiato la dimostrazione dell'integrabilità (alla Riemann) delle funzioni continue e il relativo utilizzo del teorema di Cantor.
Vorrei sapere perchè ad un certo punto( a questo punto penso sia più storia della matematica) è sorto il problema/concetto dell' uniforme continuità